第八章：常微分方程

§ 8.1 微分方程的基本概念

引例

曲线过(1,3)点,切线斜率为2x,求方程即

y'=2x\\ y=x^{2}+c\\ 将(1,3)带入得y=x^{2}+2

这就是一个简单的微分方程题目

定义和概念

定义:含有导数或微分的方程叫做微分方程

微分方程分为两类

一元函数的微分方程:常微分方程,即里面只有求导
多元函数的微分方程:偏微分方程,里面含有偏导

这里还有个阶的概念,导数的最高阶数,就是这个方程的阶

同样,还有线性的概念,线性微分方程,即关于y,y',y''的一个线性方程,这里的x要看做常数

通解: 微分方程解出来是有无穷多个解的,他是有独立常数的,就和不定积分类似,如果独立常数的个数等于方程的阶数,那么就是通解

特解: 特殊的阶,带入能满足的解

§ 8.2 一阶微分方程

可分离变量的微分方程

当我们遇到这种方程时:F(x)y'+G(x)y=0\\ 我们可以转化为:M(x)dx=N(y)dy\\ 对两边同取不定积分:\int M(x)dx=\int N(y)dy+C

这种两种方程属于可分离变量的微分方程,也是最简单的微分方程

例:

解微分方程:y'-2xy=0\\ \frac{dy}{dx}=2xy\\ \frac{1}{y}dy=2xdx\\ \int \frac{1}{y}dy=\int 2xdx+C\\ ln|y|=x^{2}+C\\ 即y=Ce^{x^{2}}\\

能写成 $\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$ 就叫做其次微分方程,齐次微分方程换元后都可以用分离变量来做

\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}}{xy-x^{2}}=\frac{(\frac{y}{x})^{2}}{\frac{y}{x}-(\frac{y}{x})^{2}}\\ 令\frac{y}{x}=u,y=xu,\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}\\ 带入得:u+x\frac{du}{dx}=\frac{u^{2}}{u-u^{2}}\\ 利用分离变量求解即可\\ 求解后需要将u=\frac{y}{x}带回去\\

一阶线性微分方程

$y'+p(x)y=0\\ y'+p(x)y=q(x)$ 这种就叫线性微分方程其中,右边为0的,叫做齐次微分方程,这种一阶线性齐次微分方程是可以用分离变量来做的,这里主要关注非齐次微分方程

y'+p(x)y=q(x)\\ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}+p(x)=\frac{q(x)}{y}\\ \frac{1}{y}dy=\frac{q(x)}{y}dx-p(x)dx\\ \int \frac{1}{y}dy=\int \frac{q(x)}{y}dx-\int p(x)dx+C\\ lny =\int \frac{q(x)}{y}dx+\int -p(x)dx+C\\ y=e^{C}e^{\int \frac{q(x)}{y}dx}e^{\int -p(x)dx}\\ 令e^{C}e^{\int \frac{q(x)}{y}dx}=A(x)\\ 即y=A(x)e^{\int -p(x)dx}\\ y'=A'(x)e^{\int -p(x)dx}-A(x)e^{\int -p(x)dx}p(x)\\ 将y'和y带入y'+p(x)y=q(x)\\ A'(x)e^{\int -p(x)dx}-A(x)e^{\int -p(x)dx}p(x)+p(x)A(x)e^{\int -p(x)dx}=q(x)\\ 消掉两项后,A'(x)e^{\int -p(x)dx}=q(x)\\ A'(x)=\frac{q(x)}{e^{-\int p(x)dx}}=q(x)e^{\int p(x)dx}\\ A(x)=\int q(x)e^{\int p(x)dx} dx+C\\ 由y=A(x)e^{\int -p(x)dx}\\ 得y=e^{\int -p(x)dx}\left[\int q(x)e^{\int p(x)dx} dx+C\right]

所以我们有公式:

y'+p(x)y=q(x)的通解为\\ y=e^{\int -p(x)dx}\left[\int q(x)e^{\int p(x)dx} dx+C\right]

例:

y'+2xy=2xe^{-x^{2}}\\ 根据公式:\\ y=e^{-\int 2xdx}\left[\int 2xe^{-x^{2}}e^{\int 2xdx} dx +c\right]\\ 求解即可

y d x+\left(x-y^{3}\right) d y=0\\ 化简为:\frac{d y}{d x}=-\frac{y}{x-y^{3}}\\ \frac{d x}{d y}=\frac{1}{y} x-y^{2}\\ \frac{d x}{d y}-\frac{1}{y} x=-y^{2}\\ 此时就是一个关于x的一阶线性微分方程,带公式:\\ x=e^{\int \frac{1}{y}dy}\left[\int -y^{2}e^{\int -\frac{1}{y}dy} dy+C\right]\\ 求解即可

伯努利方程

y'+p(x)y=q(x)y^{\alpha}\ \ \ (\alpha \neq 1,0)\\ 两边同除y^{\alpha}\\ 得:y^{-\alpha } \frac{d y}{d x}+p(x) y^{1-\alpha}=q(x)\\ 令z=y^{1-\alpha}\\ y^{-\alpha } \frac{d y}{d x}+p(x) y^{1-\alpha}=\frac{1}{1-\alpha} \frac{d y^{1-\alpha}}{d x}+p(x) y^{1-\alpha}\\ 即\frac{1}{1-\alpha} \frac{d z}{d x}+p(x)z=q(x)\\ \frac{d z}{d x}+(1-\alpha)p(x)z=(1-\alpha)q(x)\\ 因变量看成z,自变量看成x,带入公式解出z即可\\ 最后再把z换回

§ 8.3 高阶微分方程

可降阶的高阶微分方程

y^{(n)}=f(x)

这一类很简单,我们两边同时求n次积分就可以了

y^{(n)}=f(x,y^{(n-1)})

这类题可以转化为一阶导数

令u=y^{(n-1)},u'=f(x,u)

y''=f(y,y')\\ 令u=y'\\ y''=\frac{du}{dx}=\frac{du}{dy}\frac{dy}{dx}=u\frac{du}{dy}\\ y''=u\frac{du}{dy}=f(y,u)\\ 令u=g(y)\\ g(y)g'(y)=f(y,g(y))就是一个微分方程\\ 可以将u求出,y'即可求出

二阶常系数其次线性微分方程

y''+py'+qy'=0\\

我们由上面的微分方程,得到他的特征方程

r^{2}+pr+q=0

接下来我们讨论他解的三种情况

y''+py'+qy'=0\\ 特征方程r^{2}+pr+q=0\\ \Delta >0 ,即p^{2}-4q>0\\ 特征方程有两个根r_{1}和r_{2}\\ 微分方程的解为y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}

y''+py'+qy'=0\\ 特征方程r^{2}+pr+q=0\\ \Delta =0 ,即p^{2}-4q=0\\ 方程有两个重根r\\ 微分方程的解为:y=e^{rx}(C_{1}+C_{2}x)

y''+py'+qy'=0\\ 特征方程r^{2}+pr+q=0\\ \Delta <0 ,即p^{2}-4q<0\\ 方程有虚数根r=\alpha ±\beta i\\ 微分方程的解为:y=e^{\alpha x}(C_{1}sin \beta x+C_{2}cos \beta x)

例:

y''-5y'+6y=0的通解\\ r^{2}-5r+6=0\\ \Delta = 1>0\\ 有两个根,分别为3,2\\ 微分方程的解为:y=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{2x}\\

y'=\frac{y''+y}{2}\\ y''-2y'+y=0\\ r^{2}-2r+1=0\\ \Delta = 0\\ 有两个重根为1\\ 微分方程的解为:y=e^{x}(C_{1}+C_{2}x)

二阶常系数非其次线性微分方程

y''+py'+qy'=f(x)\ \ \ f(x)\neq 0\\

以上为非齐次线性微分方程

定理: 非齐次微分方程的通解=齐次微分方程的通解+非齐次微分方程的一个特解

根据上面的内容,我们已经会求齐次微分方程的通解了,接下来我们主要讨论如何求非齐次微分方程的特解

在求特解前,我们根据f(x)需要写出特解的形式,一共有两种形式 第一种情况

y''+py'+qy'=f(x)\ \ \ f(x)\neq 0\\ 特征方程:特征方程r^{2}+pr+q=0\\ 若f(x)=P(x)_{n}e^{ax}\ \ \ (P_{n}(x)为多项式)\\ 特解形式:y^{*}=Q_{n}(x)e^{ax}x^{k} 其中Q_{n}(x)为P_{n}(x)的完整形式\\ 若P_{n}(x)是一个零次多项式(常数),则Q_{n}(x)=A\\ 若P_{n}(x)是一个一次多项式,则Q_{n}(x)=Ax+B\\ 若P_{n}(x)是一个二次多项式,则Q_{n}(x)=Ax^{2}+Bx+C\\ 以此类推\\ 而特解中的k需要根据原式中a的情况来定\\ 若特征方程有两个重根,且a正好是这个重根,那么k=2\\ 若特征方程有两个不一样的根,且a正好是这两个根中的一个,那么k=1\\ 否则k=0\\ 有了特解形式y^{*},将(y^{*})'和(y^{*})''求出,带入y''+py'+qy'=f(x)\\ 解出特解中的未知数A,B,C...,得到最终的特解y*\\ 将其次方程组y''+py'+qy'=0的通解求出,为y=g(x)\\ 那么非其次方程组的通解y=g(x)+y^{*}

第二种情况

y''+py'+qy'=f(x)\ \ \ f(x)\neq 0\\ 特征方程:特征方程r^{2}+pr+q=0\\ 若f(x)=e^{ax}(Asinbx+Bcosbx)\\ 特解形式y^{*}=e^{ax}(Csinbx+Dcosbx)x^{k}\\ k根据情况而定\\ 若特征方程有虚根r=\alpha ±\beta i,且\alpha=a,\beta = b,那么k=1\\ 否则k=0\\ 有了特解形式y^{*},将(y^{*})'和(y^{*})''求出,带入y''+py'+qy'=f(x)\\ 解出y^{*}中的C和D,求出y^{*}的最终形式\\ 解出y''+py'+qy'=0的通解g(x)\\ 那么y''+py'+qy'=f(x)的特解为g(x)+y^{*}\\

定理: $若y_{1}为y''+py'+qy'=f_{1}(x)的解,y_{2}为y''+py'+qy'=f_{2}(x)的解\\则y=y_{1}+y_{2}为方程y''+py'+qy'=f_{1}(x)+f_{2}(x)的解$

接下来剩几个例题：例题1 例题2

第八章：常微分方程 ​

§ 8.1 微分方程的基本概念 ​

引例 ​

定义和概念 ​

§ 8.2 一阶微分方程 ​

可分离变量的微分方程 ​

一阶线性微分方程 ​

伯努利方程 ​

§ 8.3 高阶微分方程 ​

可降阶的高阶微分方程 ​

二阶常系数其次线性微分方程 ​

二阶常系数非其次线性微分方程 ​