第一章：函数与极限

§ 1.1 集合

集合的概念

定义:一些确定的对象或事物组成的叫做集合

例如:{1,2,3} 直线上的所有点教室里的所有学生这些都是集合,在数学研究中,本科目所说的集合一般都是数或点构成的

任何东西都可以是集合的元素,集合内的元素可以是任何东西,包括集合本身

集合一般用大写字母表示,元素用小写字母表示

这里引入几个概念性的东西如果a是A里面的元素,我们称作a属于A,记作:a $\in$ A 如果a不是A里面的元素我们称作a不属于A,记作a $\notin$ A

如果一个集合的元素有有限个,叫做有限集,如果元素有无穷多个,我们称作无穷集合

集合的表示方式

首先是列举法,顾名思义,就是把集合里的元素一个一个列举出来,例如:

思考一个问题这种列举发能列举出一个线段上的点吗?显然不能,这个时候我们就要用到描述法描述法:{a|a具有的性质} 例: $\left\{a|a\leq9\right\}$

字母不一定要用a,字母用什么都可以

对于一些特定的集合,他们出现的频率很高,所以我们就单独给他们取了一个名字 N为全体自然数 Z为全体整数 Q为全体有理数 R为全体实数 R^+^为全体正实数 R^-^为全体负实数 R^*^为除了0以外的实数这些集合都是很常用的集合,希望读者可以把他们记住并且学会应用

子集的概念

前面我们说过一个符号 $\in$ ,读作属于,属于符号描述的是一个元素和一个集合的关系,那么如果是一个集合在另一个集合里,如图

当A和B都是集合的时候，我们应该如何表示两者的关系呢？

这里我们又引入一个概念，当B的所有元素都在A里的时候，我们称作 $B\subset A$ 读作B包含于A 或者记作 $A\supset B$

读者一定要清楚,属于是元素和集合的关系,包含与是两个集合的关系

为了帮助读者区分,这里给一个例题 eg 有两个集合A:{1,2,3} B:{ {1,2,3} , {1} } 试问A和B的关系,注意这里的虽然是两个集合的关系,但是B集合里面的元素本身就是一个集合,看到定义:如果a是A里面的元素,我们称作a属于A. A这个集合是属于B里面的一个元素吧,所以他们就应该是属于的关系,即: $A\in B$

集合相等的概念

我们怎么来判断两个集合是否相等呢? 这里给一个等价描述读者就应该明白了

$B\subset A 且A\subset B\Leftrightarrow A=B$

集合相等的本质是两个集合中的元素是一样的,由这个等价描述,我们可以知道集合具有的一个性质,叫做无序性,即{1,2,3}和{3,2,1}这两个集合是相等的
集合一共有三个基本性质,分别是无序性,确定性和互异性,这不是本课的重点,了解即可

空集

空集记作 $\phi$ 空集的定义很简单,没有任何元素的集合我们叫做空集,前面我们说过,集合是由元素组成的,但请记住,空集虽然没有元素,但是他依然是一个集合,这是一个特例,并且空集是任意集合的子集也就是说 $\phi \subset A(A为任意集合)$

集合的运算

这里列举一些集合的运算:

A交B记作 $A \cap B$ : A并B记作 $A \cup B$ : A差B记作 $A-B$ :

全集的概念全集我们一般用 $\Omega$ 来表示,全集表示我们要研究的所有对象放在一起,就是一个全集

补集记作 $\bar{A}$ ,把全集里面扣掉一个集合后,所得到的集合也就是用全集去差一个集合:

集合满足一些运算规律,

$A \cup B=B \cup A$
$A \cap B=B \cap A$
$(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C)$
$(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C)$
$A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$
$A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)$
$\overline{A \cup B}=\bar{A} \cap \bar{B}$
$\overline{A \cap B}=\bar{A} \cup \bar{B}$

还有一个运算叫做直积,或者叫做笛卡尔积 $A \times B=\{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}( 有序对(a,b))$
例: $\begin{array}{l} A=\{1,2\} \quad B=\{6,66,666)\\ A \times B=\{(1,6),(1,66),(1,666) ,(2,6) ,(2,66),(2,666)\} \\ B \times A=\{(6,1),(66,1),(666,1),(6,2),(66,2),(666,2)\} \end{array}$

区间与邻域

区间也是一个集合 (a,b)表示数轴上a点到b点上所有的点集,不包含a点和b点 [a,b]表示数轴上a点到b点上所有的点集,包含a点和b点

a和b如果有一个为 $\infty$ 则称这个是一个无限区间

$\infty$ 包含了 $+\infty$ 和 $-\infty$
$\infty$ 并不是一个具体的数,他是一个趋势

邻域也是一个区间, $U(a, \delta)$ 表示的区间就是 $(a-\delta,a+\delta)$ ,读作以a为中心,以 $\delta$ 为半径的邻域(需要注意的是区间也是一个集合,所以领域其实也是一个集合)

去心领域:记作 $U(\hat{a}, \delta)$ 表示的集合就是 $\{x|0<| x-a \mid<\delta\}$

去心邻域的写法不是很统一,有的书上会记作: $\mathring{U}(a, \delta)$

§ 1.2 函数

函数的概念

设定义域为D, $x\in D$ $f:x\to y$ 每一个 $x$ 都有唯一的 $y$ 与之对应,就称为函数

这里给出函数的严格定义,供读者参考

定义域

定义域就是x的取值范围,这里考点有必要单独列出来

$f(x)=\sqrt[n]x{}$ 当n为偶数时,该函数的定义域为x大于0,当n为奇数时,该函数定义域为 $x\in R$
$f(x)=\frac{1}{x}$ 该函数的定义域为 $\{x|x\neq0\}$
$f(x) = \log_{a}{x}$ 该函数的定义域为 $\{x|x\gt0\}$
$f(x) = \log_{x}{a}$ 该函数的定义域为 $\{x|x\gt0 且x\neq 1\}$
$f(x) = \arcsin(x)$ 该函数的定义域和 $f(x)=\arccos(x)$ 的定义域一样能,都是 $x\in [-1,1]$

注1:这几个定义域是很常见的,也是必考的,需要读者记住注2:定义域是一个集合,只能用集合或者区间来描述,不能用不等式描述

如何判断两个函数是否相同呢?只需要看定义域和对应法则时候相同,如果这两个都相同,那么两函数就相同 eg1: $判断f(x) = 2\ln x和g(x) = \ln x^{2}是否相同$ 看起来两者是相同的,因为这看上去好像就是公式,但实际上第一个函数的定义域是 $x\in(0,+\infty )$ ,第二个函数的定义域为 $x\in R$

eg2: $判断f(x) = \sqrt{x^{2}}和g(x)= (\sqrt{x})^{2}是否相同$ 答案肯定是不相同,这个问题留给读者自己思考

这里存在一个常考的考点,给个例题 eg3: $已知f(x+1)=x^{2}-x,问f(x)是什么$ 这里解题思路不止一种,这里只给一种最常见的,令 $x+1=t\to x=t-1$ 带入原式 $f(t) = (t-1)^{2}-t+1$ 解出来即可,至于其他的解题思路,希望读者自己思考,这里只给一个例题 eg4: $f(x+1)=(x+1)^{2}-1,求f(x)$

函数的表示方法

我们前面见到的所有函数表示方法都是用解析式表示的,读者这里要注意一下,当函数在不同的地方有不同的解析式时,就需要用到分段函数

这里给一个新的函数,取整函数 $f(x) = [x]$ ,该函数的值为不超过x的最大整数, $f(1.1) = 1;f(1.9) = 1;f(2) = 2;f(-1.2) = -2$ ,主要注意负数取整函数图像:

函数的表示图像法,我相信这个不用给读者多余的解释了,把解析式在坐标轴上画出来得到的就是一个函数图像,该函数图像就是图像法表示的函数

函数还有一种表示方式叫列表法,就是把函数的值一个一个列出来,这里不展开说

周期函数

如果函数 $f(x)$ 满足 $f(x) = f(x+T)(T\neq 0)$ 就称该函数为周期函数,满足这个表达式的最小的正数 $T$ 就称做该函数的最小正周期

注1:不是所有周期函数都有最小正周期推论:如果 $f(x)$ 以 $T$ 为周期,那么 $f(ax)$ 就以 $\frac{t}{a}$ 为周期

奇函数和偶函数

这个比较简单,几何上来说,关于原点对称的函数我们叫做奇函数,关于y轴对称的我们叫做偶函数,那么对于一些函数我们画不出图像,该怎么判断呢?这里只需要记住奇偶函数的两个性质 $f(x)为奇函数 \Leftrightarrow f(-x) = -f(x)$ $f(x)为偶函数 \Leftrightarrow f(-x) = f(x)$

注1：对于一些特殊的奇偶函数的判别,特别是对于对数函数,我们可能需要用f(x)+f(-x)等于0来判别该函数为奇函数，用f(x)-f(-x)=0来判断f(x)为偶函数注2: 如果一个函数的定义域不关于原点对称,那么这个函数一定不具备奇偶性注3:如果既不是奇函数,也不是偶函数,我们叫做非积非偶函数,如果既是奇函数又是偶函数,我们叫做既奇又偶函数,既奇又偶函数只有一个,那就是f(x) = 0

奇偶函数四则运算运算后满足一些性质,希望读者可以记住奇函数乘除奇函数结果为偶函数奇函数乘除偶函数结果为奇函数偶函数乘除偶函数结果为偶函数奇函数加减奇函数结果为奇函数偶函数加减偶函数结果为偶函数偶函数加减奇函数一般认为没有奇偶性奇函数加减偶函数一般认为没有奇偶性

单调函数

函数的单调性我们在一元函数微分学还会说到这里先给出一个基本定义 $\forall x_{1},x_{1}\in D; x_{1}<x_{2};满足f(x_{1})\leq f(x_{2}),我们称作f(x)在区间D上为单调递增$ $\forall x_{1},x_{1}\in D; x_{1}<x_{2};满足f(x_{1})\geq f(x_{2}),我们称作f(x)在区间D上为单调递减$ $\forall x_{1},x_{1}\in D; x_{1}<x_{2};满足f(x_{1})\lt f(x_{2}),我们称作f(x)在区间D上为严格单调递增$ $\forall x_{1},x_{1}\in D; x_{1}<x_{2};满足f(x_{1})\gt f(x_{2}),我们称作f(x)在区间D上为严格单调递减$

这里的D可以是任意区间,不一定是定义域

有界函数

给出基本定义: $\exists M>0;\forall x_{0}\in D 都有\left| f(x_0)\right| \leq M,我们就称f(x)为有界函数$ 对应的概念叫做无界函数无界函数: $\forall M>0;\exists x_{0}\in D 都有\left| f(x_0)\right| \geq M,我们就称f(x)为无界函数$

上界下界与确界: $\exists M \in R;\forall x_{0}\in D 都有f(x_0) \leq M,我们就称M为f(x)的上界$ $\exists M\in R;\forall x_{0}\in D 都有f(x_0) \geq M,我们就称M为f(x)的下界$ 从上面定义不难看出,一个函数如果有上界就一定有无穷多个上界,一个函数如果有下界就一定有无穷多个下界,有上界函数的最小上界我们称之为上确界,有下界函数的最大下界我们称之为下确界

对于有界函数而言,我这里只是简单给出了他的定义,知道定义即可,不需要深入掌握

反函数

反函数在高中已经接触过了,举个例子, $y = 2x$ 这个函数的反函数就是 $x =\frac{y}{2}$ ,但我们一般习惯于把x作为自变量,把y作为因变量,所以我们写作 $y =\frac{x}{2}$ ,反函数是对他的对应关系求反,这里有一个比较重要的性质,原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域,并且只有严格单调函数才能存在反函数

从图像来看,原函数和反函数关于 y=x 对称

基本初等函数

基本初等函数主要有常函数,幂函数,对数函数,指数函数,三角函数和反三角函数,这几类函数比较简单没有这么需要注意的知识点,这里就不展开讲了,这里挂个链接:基本初等函数如果学的不是特别扎实建议去看看如果看不懂百科里的内容,这里还有一份文件供读者参考

这里只要了解一个概念初等函数: 基本初等函数经过有限次的四则运算以及符合运算后,可以用一个式子表达的函数,我们称为初等函数

§ 1.3 数列极限

数列属于高中的知识,这里不做过多赘述,如果读者对数列掌握程度不够,可以去参考一下高中数列的知识,这里读者只要知道,高中我们研究的是有限项数列,我们这里研究的是无限项数列

引入几个概念单调增数列和单调减数列:这个和前面提到的函数单调性是一样的,只要后一项大于等于前一项大,那就是单调增数列,后一项小于等于前一项,就是单调减数列,和上文提到的函数单调性一样,常数列即是单调增数列,也是单调减数列

有界数列: $\exists 一个M>0,使得数列任意项\left|x_{n} \right| \leq M 我们就说x_{n}为有界数列,否则就叫无界数列$

数列极限

这里举个例子帮助理解:给一个数列,通项 $a_{n}=\frac{n}{n+1}$ 这个数列很容易写出来: $\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5} \cdots \frac{10000}{10001} \cdots$ 我们发现他是越来越趋近于1的,所以我们可以认为他的极限就是1

简单的理解就是,当项数不断增大,通项 $a_{n}$ 的取值在往一个值M无限趋近,那我们就说这个数列就有极限M

这里给出数列极限的严格定义:

设有一个数列x_{n} ,\exists 一个常数a使得\forall \varepsilon \gt 0 ,\exists N,当n\gt N时,都有\left|x_{n}-a\right| \lt \varepsilon\\我们就说数列x_{n}以a为极限,或者说数列x_{n}收敛于a\\记作\lim_{n \to \infty}x_{n} = a,或者记作x_{n}\to a (n \to \infty)

这个定义很重要,一定要理解,如果理解上有困难,可以考虑画个图来帮助理解这里一般涉及到求数列极限和用定义证明极限两个知识点这里我们给几个例题,用极限的定义来证明数列极限,帮助读者理解

eg1:

证明极限\{ \frac{n}{n+1} \}极限为1\\ 证:\forall \varepsilon \gt 0,要让\left|\frac{n}{n+1}-1\right| = \left|1-\frac{n}{n+1}\right| \lt \varepsilon成立\\ \because n \gt 0,\therefore 1-\frac{n}{n+1} \gt 0\\ \therefore \left|1-\frac{n}{n+1}\right| = 1-\frac{n}{n+1}\\ 要让1-\frac{n}{n+1}<\varepsilon成立,\frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}>1-\varepsilon\\ 0\lt \frac{1}{n+1} \lt \varepsilon\\ \frac{1}{\varepsilon}\lt n+1,n\gt \frac{1}{\varepsilon}-1\\ \therefore 当N>[\frac{1}{\varepsilon}-1]+1的时候,\left|1-\frac{n}{n+1}\right| \lt \varepsilon成立\\ \therefore \{ \frac{n}{n+1} \}以1为极限

eg2:

\left| q \right|<1 ,证明\lim_{n \to \infty}q^{n}=0\\ 证:任取\varepsilon >0,要让\left| q^{n}-0 \right|<\varepsilon\\ 要让\left| q^{n}\right|=\left| q\right|^{n}<\varepsilon=q^{\log_{q}{\varepsilon}},即当N>[\log_{q}{\varepsilon}]+1时,有\left| q^{n}-0 \right|<\varepsilon,该数列极限为0\\

eg3:

a>0,证明\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^{a}}=0\\ 证:任取\varepsilon>0,要让\left|\frac{1}{n^{a}}\right| < \varepsilon\\ \because n>0,a>0,\therefore \frac{1}{n^{a}}>0\\ 要让\frac{1}{n^{a}}<\varepsilon,n^{a} > \frac{1}{\varepsilon},n> (\frac{1}{\varepsilon})^{\frac{1}{a}}\\ 当N>[(\frac{1}{\varepsilon})^{\frac{1}{a}}]+1的时候,有\left|\frac{1}{n^{a}}\right| < \varepsilon,证毕

以上为数列极限的证明,做题一般不会用到,但最好还是要理解了,更重要的还是去求一个数列极限

数列极限存在一些==性质==需要掌握

唯一性,数列极限如果收敛,那么他的极限一定唯一(反证法)
$证明:\\ 假设\lim_{n\to \infty}x_{n} = a且\lim_{n\to \infty}x_{n}=b,且a\neq b\\ 不妨设a < b,假设\varepsilon =\frac{b-a}{2}\\ 因为\lim_{n\to \infty}x_{n}=a, \exists N_{1}使得n>N_{1}时,有①\left|x_{n}-a\right|<\frac{b-a}{2}\\ 因为\lim_{n\to \infty}x_{n}=b, \exists N_{2}使得n>N_{2}时,有②\left|x_{n}-b\right|<\frac{b-a}{2}\\ 由①\to -\frac{b-a}{2}< x_{n}-a<\frac{b-a}{2} \to x_{n}<\frac{a+b}{2}\\ 由②\to -\frac{b-a}{2}< x_{n}-b<\frac{b-a}{2} \to x_{n}>\frac{a+b}{2}\\ 矛盾,即假设不成立,即,极限存在一定唯一,证毕.$
有界性:若数列收敛,一定有界
$证明:\\ \{x_{n}\}收敛与a,证明\{x_{n}\}有界\\ \lim_{n \to \infty}x_{n} = a,取\varepsilon = 1,\exists N ,当n>N时,\left|x_{n}-a\right|<1\\ 当n>N时,\left|x_{n}\right|=\left|x_{n}-a+a\right|\leq \left|x_{n}-a\right|+\left|a\right|<\left|a\right|+1\\ 因为N前面的是有限项,所以我们取M=max\{|x_1|,|x_2|\dots|x_{N}|,|a|+1\}\\ M就是x_{n}的界$
注:收敛一定有界,有界不一定收敛,例如(-1)^n^这种震荡函数,==单调有界则必收敛==(单调有界定理)
保号性:如果数列{x~n~}极限大于0,一定存在一个N,使得n>N时,x~n~>0;如果数列{x~n~}极限小雨0,一定存在一个N,使得n>N时,x~n~<0.

证明:\\ \lim_{n\to \infty}x_{n}=a,a>0,取\varepsilon =\frac{a}{2},\exists N,当n>N时,|x_{n}-a|<\frac{a}{2}\\ 即:-\frac{a}{2}<x_{n}-a<\frac{a}{2} \to 0< \frac{a}{2}<x_{n}<\frac{3a}{2}\\ 证毕.

$\{x_{n}\}$ 收敛于a,他的任意子数列 $x_{k_{n}}$ 收敛与a
子数列:从一个数列中,抽一些出来,保证先后次序不变,则构成该数列的子数列,假设原来的数列为{x~k~},子数列记作 $x_{k_{n}}$ ,注意,这里k~n~ $\geq$ n
这里用的更多的是他的推论 ==如果一个数列存在一个子数列不收敛,那么该数列也不收敛== ==如果找到两个收敛且极限不同的子数列,则原数列就发散== ==原数列收敛的充分必要条件是原数列的奇数项和偶数项都收敛与同一个值==
$证明:\\ \lim_{n\to \infty}x_{n}=a,取\varepsilon>0,\exists N,当n>N时,|x_{n}-a|<\varepsilon\\ 已知k_{n}\geq n>N,所以可以把k_{n}带入,即:|x_{k_{n}}-a|<\varepsilon,故x_{k_{n}}也收敛与a$

§ 1.4 函数极限

函数极限与数列极限类似,数列极限是一个数列的变化趋势,而函数极限是一个函数的变化趋势

但是函数极限和数列极限有一个区别,对于数列而言,我们研究的都是当n趋近于无穷大的时候,通项的极限,而我们的函数极限不仅可以趋近于正无穷和负无穷,还可以趋近于一个点,所以我们这里分多种情况来讨论函数极限

情况一:

如果x趋近于正无穷 f(x)趋近于常数a,我们就说 $\lim_{x \to +\infty} f(x)=a$ 当然,虽然很好理解,但我们也要严格的定义,包括后面的三种情况,我都会给出严格定义,读者如果对定义比较懵逼,看一下就行了

\exists 常数a,\forall \varepsilon>0,\exists X,当x>X时,|f(x)-a|<\varepsilon\\ 则称a为当x趋近于无穷时,f(x)的极限,记作\lim_{x \to +\infty} f(x) = a\\

这里给个例题帮助理解:

证明:\lim_{x\to +\infty}(\frac{1}{2})^{x} = 0\\ 任取\varepsilon >0,要让|(\frac{1}{2})^{x}-0|<\varepsilon \\ \because (\frac{1}{2})^{x}>0,\therefore |(\frac{1}{2})^{x}-0| = (\frac{1}{2})^{x} = 2^{-x}\\ 要让2^{-x}<\varepsilon ,-x\ln 2<\ln \varepsilon ,x>\frac{\ln \varepsilon}{\ln 2}=\log_{2}{\varepsilon}\\ 令X = \log_{2}{\varepsilon},当x>X时,总有|(\frac{1}{2})^{x}-0|<\varepsilon,证毕.

情况二:

如果x趋近于负无穷 f(x)趋近于常数a,我们就说 $\lim_{x \to -\infty} f(x)=a$

定义:

\exists 常数a,\forall \varepsilon>0,\exists X>0,当x<-X时,都有|f(x)-a|<\varepsilon\\ 则称a为当x趋近于负无穷时,f(x)的极限,记作\lim_{x \to -\infty} f(x) = a\\

情况三:

如果x趋近于负无穷 f(x)趋近于常数a并且x趋近于正无穷 f(x)也趋近于常数a,我们就说 $\lim_{x \to \infty} f(x)=a$

定义:

\exists 常数a,\forall \varepsilon>0,\exists X>0,当|x|>X时,都有|f(x)-a|<\varepsilon\\ 则称a为当x趋近于负无穷时,f(x)的极限,记作\lim_{x \to -\infty} f(x) = a\\

情况四:

如果x趋近于一个常数x~0~时,f(x)趋近于常数a,那么我们就说 $\lim_{x \to x_{0}} f(x)=a$ 这个情况就有一点点麻烦了,首先,我们要清楚,这里是x是无限趋近于x~0~,是取不到x~0~的所以==极限是否存在和f(x)在x~0~处有没有定义是没有任何关系的==,f(x)在x~0~处可以没有定义,我们要保证的是f(x)在x~0~处的某个去心领域内有定义

定义:

\exists 常数a, \forall \varepsilon >0,\exists \delta 使得x\in\mathring{U}(x_{0},\delta),都有|f(x)-a|<\varepsilon\\ 我们就说f(x)在x_{0}处的极限为a,记作\lim_{x \to x_{0}} f(x)=a

$x\in\mathring{U}(x_{0},\delta)还可写作0<|x-x_{0}|<\delta$

那么这里引出一个问题,我们说x趋近于x~0~的时候,有一个方向的问题,可以从左边趋近,也可以从右边趋近,例如 $y=\sqrt{x}$ 在x=0点的极限就只能从右侧趋于0,这里就引出了单侧的极限

情况五:

左极限和右极限左极限:很显然,就是x从左侧逼近x~0~我们把他记作 $x\to x_{0}^{-}$ 定义:

\exists 常数a, \forall \varepsilon >0,\exists \delta 使得x\in(x_{0}-\delta,x_{0}),都有|f(x)-a|<\varepsilon\\ 我们就说f(x)在x_{0}处的左极限为a,记作\lim_{x \to x_{0}^{-}} f(x)=a

右极限和左极限类似,给出定义:

\exists 常数a, \forall \varepsilon >0,\exists \delta 使得x\in(x_{0},x_{0}+\delta),都有|f(x)-a|<\varepsilon\\ 我们就说f(x)在x_{0}处的左极限为a,记作\lim_{x \to x_{0}^{+}} f(x)=a

综上我们很容易知道，如果f(x)在x~0~处极限存在,那么他一定有左极限也有右极限,这里给出定理:

\lim_{x \to x_{0}} f(x)=a\Leftrightarrow \lim_{x \to x_{0}^{+}} f(x)=\lim_{x \to x_{0}^{-}} f(x)=a

只要能证明单侧极限不存在,那么在该点的极限就不存在左右极限都存在且不相等,那么在该点的极限不存在

eg:

f(x)=\left\{\begin{matrix} x & x\leq1\\ 2x+1 &x>1 \end{matrix}\right.\\ 判断\lim_{x\to 1}f(x)是否存在\\ 解:\lim_{x\to 1^{-}}f(x) = \lim_{x\to 1^{-}}x = 1\\ \lim_{x\to 1^{+}}f(x) = \lim_{x\to 1^{+}}2x+1 = 3\\ 因为左极限不等于右极限,所以\lim_{x\to 1}f(x)不存在

函数极限的性质:

唯一性:函数极限如果存在,那么极限一定唯一
局部有界性:如果极限 $\lim_{x\to x_{0}f(x)}$ 存在,一定存在 $\delta$ 使得 $x\in \mathring{U}(x_{0},\delta)$ 时f(x)有界
局部保号性:如果极限 $\lim_{x\to x_{0}f(x)}$ 存在且大于0,一定存在的一个 $\delta$ 使得 $x\in \mathring{U}(x_{0},\delta)$ 时,f(x)>0
$\lim_{x\to x_{0}}f(x)=a\Leftrightarrow 取任意数列\{x_{n}\}满足\lim_{n \to +\infty}x_{n}=x_{0},\lim_{n \to +\infty}{f(x_{n})=a}.我们一般用他的逆否命题\\如果找到一个\{x_{n}\}满足\lim_{n \to +\infty}x_{n}=x_{0},并且使得\lim_{n \to +\infty}f(x_{n})的极限不存在那么\lim_{x\to x_{0}}f(x)极限不存在\\推论:\\找两个数列\{x_{n}\},\{k_{n}\}满足\lim_{n \to +\infty}x_{n}=\lim_{n \to +\infty}k_{n}=x_{0},使得\lim_{n \to +\infty}f(k_{n})\neq \lim_{n \to +\infty}f(k_{n})\\那么\lim_{x\to x_{0}}f(x)极限不存在$
例:
$证明\lim_{x\to 0} \sin\frac{1}{x}不存在\\ 我们取\{x_{n}\}=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}},满足\lim_{n \to +\infty}{x_{n}}=0\\ 带入原式得:\lim_{n\to +\infty} \sin(2n\pi+\frac{\pi}{2})=1\\ 取\{k_{n}\}=\frac{1}{2n\pi} ,满足\lim_{n \to +\infty}{k_{n}}=0\\ 带入原式得:\lim_{n\to +\infty} \sin(2n\pi)=0\\ 两极限不想等,所以\lim_{x\to 0} \sin\frac{1}{x}不存在,证毕$

§ 1.5 无穷小量和无穷大量

无穷小量

顾名思义,就是一个很小很小很逼近0的量,无穷小的定义:

请读者一定要注意,无穷小量和变化过程有关,例如x^2^当x趋于0的时候他就是无穷小量,但是我们不能直接说x^2^是无穷小量,这是毫无意义的,因为x^2^在x趋于1的时候又是1了,所以我们描述无穷小量一定要描述其变化趋势,虽然我们经常用0来表示无穷小量,但请读者区分0和无穷小量的关系,无穷小量本身是一个变化趋势,是一个变量,而0是一个确确实实存在的常量

这里需要读者记住几个性质和定理需要读者记住

有限的无穷小量想加想减想乘后结果都是无穷小量,但是无穷小量以无穷小量结果却不确定,他有可能存在有可能不存在,我们管这种极限叫做未定式极限
无穷小量乘以一个任意常数或者一个有界变量,结果还是无穷小量. 有界变量:诸如 $\lim_{x \to \infty} sinx$ 之类举个例子: $\lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x} = 0$ 注:考题里有界函数一般是三角函数
$\lim f(x) = a \Leftrightarrow f(x)= a+ \alpha(x) \\其中\lim\alpha(x) = 0$

诸如 $lim$ 这种没有写明变化过程的定理,说明他对所有变化过程都是成立的

无穷大量

无穷大量也很好理解,也就是常说的正无穷和负无穷,无穷大量也是一个趋势,他并不是一个确确实实存在的量,描述无穷大的时候也要带上趋势,当然,我们说了,无穷大并不是一个确确实实存在的量,所以当我们要描述诸如 $\lim_{x \to \infty}x$ 这种趋于无穷大的极限时,我们既可一说极限为 $+\infty$ 也可以说极限不存在

性质

有限的无穷大量相乘依旧是无穷大量
无穷大量加上一个常量或者一个有界变量后,依旧是无穷大量
正无穷+正无穷依旧是正无穷,负无穷加负无穷依旧是负无穷,但是正无穷+负无穷是结果是没法确定的
两个无穷大量相除结果也是不确定的
常数乘以一个无穷大量结果依旧是无穷大量
在同一变化过程下,如果 $f(x) = \infty$ ,那么 $\frac{1}{f(x)} = 0$ ,反之,如果 $f(x) = 0$ ,那么 $\frac{1}{f(x)} = \infty$

§ 1.6 极限的运算法则

极限也满足一些运算法则,这很重要

四则运算

若\lim f(x) = a,\lim g(x) = b,(a,b为常数),则满足\\ \lim (f(x)±g(x)) = \lim f(x)±\lim g(x) = a±b\\ \lim (f(x)\times g(x)) = \lim f(x)\times \lim g(x) = a\times b\\ \lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{ \lim g(x)} = \frac{a}{b}(b可以为无穷小量,但b不能为0)\\

读者需要注意,能使用四则运算的前提是f(x)和g(x)的极限都是存在的推广一下,有限个函数想加的极限,只要保证每一个函数的极限都存在,就可以对每一个函数先求极限再想加该推论无法推广到无限项,例如x个x分之一相加 $\lim_{x\to +\infty}\sum_{k=1}^{x} \frac{1}{x} = \lim_{x\to +\infty} (\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\cdots)=\lim_{x\to +\infty}x\frac{1}{x} = 1$

推论

1. \lim cf(x) = c\lim f(x)\ \ (c为极限过程的无关量)\\ 举几个例子帮助读者理解:\\ \lim_{x\to +\infty}\frac{2}{x}=2\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=2\\ \lim_{x\to +\infty}\frac{y}{x}=y\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=y\ \ (x的值与y无关)\\ 2. \lim [f(x)]^{n} = [\lim f(x)]^{n}\ \ (n为极限过程的无关量)

eg:

\lim_{x\to 1}(2x^{2}-x+3) = 4\\ \lim_{x\to 2}\frac{3x-1}{x^{2}+6}=\frac{1}{2}\\ \lim_{x\to 2}\frac{x+2}{x-2}=\infty\\ \lim_{x\to \infty}\frac{2x^{2}+3x+1}{5x^{2}+4x+3} = \lim_{x\to \infty}\frac{2+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{5+\frac{4}{x}+\frac{3}{x^{2}}}=\frac{2}{5}\\ \lim_{x\to \infty}\frac{5x^{2}+4x-1}{3x^{3}-2}=0\ (上下同除x^{3})\\ \lim_{x\to \infty}\frac{3x^{3}-x+2}{2x^{2}+1}=0\ (上下同除x^{3})

这里我们给一个结论,当x趋于无穷时,且上下都是关于x的多项式
当分子分母同次,结果为最高次系数之比
分母的次数高于分子次数,结果为0
分子次数高于分母次数,结果为 $\infty$

eg:

1.\ \lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^{2}-1}=\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{(x+1)(x-1)} = \lim_{x\to 1}\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}\\ 切记,这里虽然上下都是多项式,但x是趋于1的,不能用上面给的那个结论\\ 2.\ \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{1}{2}\\ 对于这种题我们一般考虑有理化,但到了以后我们会学到等价无穷小量可以很简单地做这个题\\ 3.\ \lim_{n\to \infty}(\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\frac{3}{n^{2}}+\dots +\frac{n}{n^{2}})=\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^{2}}=\frac{1}{2}\\ 4.\ \lim_{x\to \infty}\left(\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}\right)=\lim_{x\to \infty}\frac{2x}{\left(\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}\right)}=\lim_{x\to \infty}\frac{2}{\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}}\right)}= 1\\ 5.\ \lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-2x+k}{x-3}=4,求k,分母显然是0,要让他的极限是个常数,必须是\frac{0}{0}型\\ 所以\lim_{x\to 3}x^{2}-2x+k=0,解得k=-3

主要题型总结:

$\frac{0}{\infty}和\frac{\infty}{0}$ 都是已知的, $\frac{0}{0}和\frac{\infty}{\infty}$ 属于未定式极限,结果是不一定的,需要计算
多项式(趋于常数直接带入,趋于无穷比最高次) 注:初等函数一般都可以直接带入
无限项之和考虑求和公式
带有根号的未定式极限可以考虑有理化
其余的一些能消元的未定式极限如上方例1

复合函数求极限法则:

这个法则定义本身一般不会考的很深,读者了解即可

§ 1.7 极限存在的准则和两个重要极限

夹逼定理

如果存在3个函数f(x), g(x) ,h(x),满足在x\in\mathring{U}(x_{0},\delta)满足f(x)\leq f(x)\leq h(x)\ 且\lim_{x\to x_{0}}g(x)=\lim_{x\to x_{0}}h(x)=a,则有\lim_{x\to x_{0}}f(x)=a

夹逼定理很难用一般是用来解决一些比较恶心的题目,这里给几个题 eg

1.\ \lim_{n\to +\infty}\frac{2^{n}}{n!}\\ 0<\frac{2\times2\times2\times\cdots \times2}{1\times2\times3\times\cdots\times n}<\frac{4}{n}\\ \lim_{n\to +\infty}0=\lim_{n\to +\infty}\frac{4}{n}=0,所以\lim_{n\to +\infty}\frac{2^{n}}{n!}=0

单调有界定理

单调有界数列必收敛 eg

a>0 , x_{1}=\sqrt{a} \quad x_{n}=\sqrt{a+x_{n-1}},证明极限存在并求\lim_{n\to \infty}x_{n}\\ 本题用数学归纳法来证明\\ 假设x_{n-1}<x_{n},\sqrt{a+x_{n-1}}<\sqrt{a+x_{n}},x_{n}<x_{n+1},证得该数列为单调增\\ 假设x_{n}<\sqrt{a}+1,x_{n+1}=\sqrt{a+x_{n}}<\sqrt{a+\sqrt{a}+1}<\sqrt{a+2\sqrt{a}+1}=\sqrt{a}+1,证毕\\ 设\lim_{n\to\infty}x_{n}=b=\lim_{n\to\infty}\sqrt{a+x_{n-1}},即:b=\sqrt{a+b},解得b=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}

两个重要极限

第一重要极限

\lim_{x\to 0}\frac { \sin x } { x } = 1 \to \lim_{f(x)\to 0}\frac { \sin f(x) } { f(x) }

第一重要极限证明: 20200703213016286

如上图, 对于弧 $\widehat{A C},$ 由于半径 $1,$ 所以, 弧 $\widehat{A C}$ 长 $x_{\circ}$ 图片很直观地看出 $\sin x \leq x \leq \tan x,$ 并在 $x \rightarrow 0$ 的时候, 他们都"相等"。这个是几何直观的, 如果我们假设化曲为直是可行的。所以, 由上述公式,

\sin x \leq x \leq \tan x \Longleftrightarrow 1 \leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{\tan x}{\sin x} \Longleftrightarrow 1 \leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{1}{\cos x}

由上式取倒数得:

\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1

因为

\lim _{x \rightarrow 0} \cos x=1

由夹逼定理得:

\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin x } { x } = 1

证毕

第二重要极限

\lim _ { x \rightarrow \infty } ( 1 + \frac { 1 } { x } ) ^ { x } = e \to \lim _ { f(x) \rightarrow \infty } ( 1 + \frac { 1 } { f(x) } ) ^ { f(x) } = e \to \lim _ { f(x) \rightarrow 0 } ( 1 + f(x)) ^ { \frac { 1 } { f(x) } } = e

第二重要极限的证明构造数列

x_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}

根据二项式定理，进行展开:

\begin{array}{c} x_{n}=C_{n}^{0} 1^{n}\left(\frac{1}{n}\right)^{0}+C_{n}^{1} 1^{n-1}\left(\frac{1}{n}\right)^{1}+C_{n}^{2} 1^{n-2}\left(\frac{1}{n}\right)^{2}+\cdots+\frac{n(n-1)(n-2) \cdots 1}{n !} 1^{0}\left(\frac{1}{n}\right)^{n} \\ =1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right) \\ <2+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\cdots \frac{1}{n !} \\ <2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}=3-\frac{1}{2^{n-1}}<3 \end{array}

而对于

\begin{array}{c} x_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \\ \left.=2+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)+\frac{1}{(n+1) !}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right)\right) \cdots\left(1-\frac{n}{n+1}\right) \end{array}

所以

\left.x_{n+1}-x_{n}=\frac{1}{(n+1) !}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right)\right) \cdots\left(1-\frac{n}{n+1}\right)>0

故,

x_{n+1}>x_{n}

该序列为单调递增序列，存在极限, 记此极限为 $e_{\text {。 }}$ 对于实数 $x,$ 则总存在整数 $n,$ 使得 $n<x<n+1,$ 则有

\begin{array}{c} \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}<\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \\ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n-1}\right)}{1+\frac{1}{n-1}}=\frac{\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}=\frac{e}{1}=e \end{array}

同理

\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e

故，根据夹逼定理，函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}$ 的极限存在, 为e.

对于这两个重要极限,读者了解即可,不需会要证明

对于第二重要极限而言,我这里给读者推一个比较重要的推论,希望读者能记住

第二重要极限:\lim _ { f(x) \rightarrow 0 } ( 1 + f(x)) ^ { \frac { 1 } { f(x) } } = e\\ \lim_{f(x)\to \infty}\lim_{g(x)\to 0}(1+g(x))^{f(x)}=\lim_{f(x)\to \infty}\lim_{g(x)\to 0}e^{f(x)g(x)}=e^{\lim_{f(x)\to \infty}\lim_{g(x)\to 0}f(x)g(x)}\\ 证明:\\ \lim_{f(x)\to \infty}\lim_{g(x)\to 0}(1+g(x))^{f(x)}=\lim_{f(x)\to \infty}\lim_{g(x)\to 0}(1+g(x))^{\frac{1}{g(x)}f(x)g(x)}\\ 由第二重要极限,该式=\lim_{f(x)\to \infty}\lim_{g(x)\to 0}e^{f(x)g(x)} \\ 给两个例题帮助读者记忆:\\ 1. \ \lim_{x\to 0}( 1 - \frac { 1 } { x } ) ^ { x }\\ 注意,这不是第二重要极限,第二重要极限中间一定是加号,化简一下:\lim_{x\to0}( 1 + \frac { 1 } { - x } )^{x}\\ 根据本结论,g(x)=\frac { 1 } { - x },f(x)=x,该函数极限值为\lim_{x\to0}e^{\frac { 1 } { - x }\cdot x}=e^{-1}\\ 2.\ \lim_{x\to \infty}( \frac { x + 2 } { x - 1 } ) ^ { x }\\ 遇到这种有理分式,我们首先考虑化简\\ \lim_{x\to \infty}( \frac { x + 2 } { x - 1 } ) ^ { x }=\lim_{x\to \infty}( \frac { x-1 + 3 } { x - 1 } ) ^ { x }=\lim_{x\to \infty}(1+ \frac { 3 } { x - 1 } ) ^ { x }\\ g(x)=\frac { 3 } { x - 1 },f(x)=x,g(x)\to 0,f(x)\to \infty,根据该结论\\ \lim_{x\to \infty}(1+ \frac { 3 } { x - 1 } ) ^ { x }=\lim_{x\to \infty}e^{\frac { 3x } { x - 1 }}\\ 对指数上的这个多项式上下同除x\\ 最后结果为e^{3}

还希望读者记住的就是一些常见的重要极限了,下一节咱们还会说到更多的极限,但不论怎么样都希望读者记住这些极限 $1.\ \lim_{x\to 0}\frac{\tan{x}}{x}=\lim_{x\to 0}\frac { \sin x } { x } \cdot \frac { 1 } { \cos x }=1\\ 2.\ \lim_{x\to 0}{\frac { 1 - \cos x } { x ^ { 2 } }}=\lim_{x\to 0}\frac { 2 \sin^{2} \frac { x } { 2 } } { 4( \frac { x } { 2 } )^{2} }=\frac{1}{2}\lim_{\frac{x}{2}\to 0}( \frac { \sin \frac { x } { 2 } } { \frac { x } { 2 } } )^{2}=\frac{1}{2}\\ 3.\ \lim_{x\to 0}\frac { 2 \arctan x } { 3 x }\\ 令u=\arctan{x},x=\tan u\\ \lim_{u\to 0}{\frac{2u}{3\tan{u}}},由1题结论,该极限值为\frac{2}{3}\\$

§ 1.8 无穷小量的比较

我们前面提到过,无穷小量表示的是一种变化趋势,他并不是一个确切的值,无穷小量是一个变量,那我们如何把他们进行比较呢?准确的说,我们比较的是什么呢?请读者注意,我们比较的是无穷小量的变化速度.

我们如何比较两个函数的变化速度,如果读者学过高中数学,一定会告诉我求导,没错,例如f(x)=x和g(x)=2x,求导后,f'(x)=1,g'(x)=2我们就知道g'(x)始终>f'(x),也就是说不论x在哪,f(x)的变化速度都比g(x)慢,那这里抛出一个问题,f(x)=sinx,g(x)=x,请问这两个极限趋于0的速度谁快谁慢,如果你对上节的第一重要极限有一个深刻的认识,你就会知道他们的速度是一样快的.求导会是第二章说道的内容,所以这里我们并不采用求导的方式来比较变化速度,我们采用最简单的比值来比较两个无穷小量的大小

这里只能给出一个概念性的东西,希望读者能理解

条件:limf(x)=0且limg(x)=0且g(x)\neq 0\\ \lim \frac{f(x)}{g(x)}=0,我们称f(x)为g(x)的高阶无穷小量,记作f(x)=o(g(x))\\ \lim \frac{f(x)}{g(x)}=\infty,我们称f(x)为g(x)的低阶无穷小量\\ \lim \frac{f(x)}{g(x)}=k\neq 0\ (k为常数),我们称f(x)为g(x)的同阶无穷小量\\ 特殊的:\ \ \lim \frac{f(x)}{g(x)}=1,我们称f(x)为g(x)的等价无穷小量,记作f(x)\sim g(x)\\

读者需要会判断两个无穷小哪个是高阶哪个是低阶,注意,变化速度快的是高阶,并且高阶与低阶是一个相对概念,必须和另一个无穷小去比较,如果单独说一个无穷小是高阶或者低阶是毫无意义的,此外,读者还要着重关注等价无穷小量,这类无穷小很重要

这里给大家列出一些等价无穷小量,请读者一定记住

$当x\to 0时$
$\sin{x}\sim x$
$\tan{x}\sim x$
$\ln{(1+x)}\sim x$
$e ^ { x }-1 \sim x$
$a ^ { x } - 1 \sim x \ln a\ (a>0,a\neq 1,a为常数)$
$( x+1 )^{a} - 1 \sim ax\ (a\neq0,a为常数)$
$\arcsin{x}\sim x$
$\arctan{x} \sim x$
$1-\cos{x}\sim \frac{1}{2}x^{2}$

附上证明过程,读者了解即可 $(1) \lim \frac{\sin x}{x}=1.\\ (2) \lim (1+x)^{\frac{1}{x}}=e\\ (3) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \ln (1+x)=\lim _{x \rightarrow 0} \ln (1+x) ^{\frac{1}{x}}=\ln \lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\ln e=1.\\ (4) \lim _{x\rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}=(\text { 设 } \mathrm{e}^{x}-1=t )\lim _{t\rightarrow 0} \frac{t}{\ln (1+t)}=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\ln (1+t)}{t}}=1 \text { . }\\ (5) \lim_{x\to0} \frac{a^{x}-1}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x \ln a}-1}{x \ln a} \cdot \ln a=\ln a(a>0, a \neq 1 为常数)\\ (6) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{b}-1}{x}=\lim_{x\to0} \frac{e^{\ln (1+x)}-1}{b \ln (1+x)} \cdot \frac{\ln (1+x)}{x} \cdot b=b(b 为常数 , b \neq 0).\\ (7) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin x}{x}= (设 \arcsin x=t) \quad \lim _{x \rightarrow 0} \frac{t}{\sin t}=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\sin t}{t}}=1 .\\ (8) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x}{x}=(\text { 设 } \arctan x=t)\ \lim_{t\to0} \frac{t}{\tan t}=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{t}{\sin t} \cdot \cos t=1 \times 1=1.\\ (9) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln x}{x^{k}}=0(k>0 常数).\\ (10) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{k}}{a^{x}}=0(a>1 常数 , k 为常数 ).\\ (11) 若 \lim _{x \rightarrow x_{0}} u(x)=a>0, \lim _{x \rightarrow x_{0}} v(x)=b(a, b 均为常数 ), 则\\ \lim _{x \rightarrow x_{0}} u(x)^{v(x)}=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \mathrm{e}^{v(x) \ln u(x)}=\mathrm{e}^{\lim _{x\to x_{0}} v(x)\cdot \ln u(x)}= e ^ { \lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } v ( x ) \cdot \lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } \ln u ( x ) } = e ^ { b \ln a } = e ^ { \ln a ^ { b } } = a ^ { b }\\ 即 \lim _{x \rightarrow x_{0}} u(x)^{v(x)}=a^{b}. \\$

为什么一定要记住这些等价无穷小量呢,因为在做极限题目的时候可以用到这些等价无穷小量,这里介绍一种求极限的新方法,无穷小量替换,本定理很重要,读者一定要掌握

定理:若f_{1}(x)\sim f_{2}(x),g_{1}(x)\sim g_{2}(x),且\lim\frac { f_{2} ( x ) } { g _ { 2 } ( x ) }存在,则有\lim\frac { f_{1} ( x ) } { g _ { 1 } ( x ) }=\lim\frac { f_{2} ( x ) } { g _ { 2 } ( x ) }\\ 证明:\lim\frac { f_{1} ( x ) } { g _ { 1 } ( x ) }=\lim(\frac { f_{1} ( x ) } { g _ { 1 } ( x ) }\cdot\frac { f_{2} ( x ) } { g _ { 2 } ( x ) }\cdot\frac { g_{2} ( x ) } { f _ { 2 } ( x ) })=\lim(\frac { g_{2} ( x ) } { g _ { 1 } ( x ) }\cdot\frac { f_{2} ( x ) } { g _ { 2 } ( x ) }\cdot\frac { f_{1} ( x ) } { f _ { 2 } ( x ) }),\\ 因为f_{1}(x)\sim f_{2}(x),g_{1}(x)\sim g_{2}(x),且\lim\frac { f_{2} ( x ) } { g _ { 2 } ( x ) }存在,根据极限的运算法则,拆开后结果为\lim\frac { f_{2} ( x ) } { g _ { 2 } ( x ) }

有了这个结论后,我们就可以很轻松地做出一些题

\lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{\tan{x}}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{x}=1,对于这个题我们就可以很轻松地做出来\\ 咱们把这个定理推广一下\\ 若f_{1}(x)\sim f_{2}(x)且\lim\frac{f_{2}(x)}{g(x)}存在,则\lim\frac{f_{1}(x)}{g(x)}=\lim\frac{f_{2}(x)}{g(x)}\\ 同理:若f_{1}(x)\sim f_{2}(x)且\lim\frac{g(x)}{f_{2}(x)}存在,则\lim\frac{g(x)}{f_{1}(x)}=\lim\frac{g(x)}{f_{2}(x)}\\ 这个定理很简单,读者可以自己去证明一下

有了这个推论我们基本上能做很多题了

例:

1.\ \lim_{x\to0}\frac { \sin 2 x } { x ^ { 3 } + 3 x }=\lim_{x\to0}\frac { 2 x } { x ^ { 3 } + 3 x }=\lim_{x\to0}\frac { 2 } { x ^ { 2 } + 3 }=\frac{2}{3}\ (tip:sin2x \sim 2x)\\ 2.\ \lim_{x\to0}\frac { ( e ^ { x } - 1 ) \sin x } { 1 - \cos x }=\lim_{x\to0}\frac { x \cdot x } { \frac{1}{2}x^{2} }=2\ (tip: sinx\sim x,e ^ { x } - 1\sim x,1 - \cos x\sim \frac{1}{2}x^{2})

从上面的例题咱们总结一个解题的思路,多个无穷小相乘,可以直接把无穷小用等价无穷小量替换,但请读者注意,无穷小量等价替换只能用于多个无穷小相乘的运算,不能用于加减运算,这也是初学者常见的错误

§ 1.9 函数的连续

本节为本章最后一节,为了介绍连续,以及为下一章做铺垫,我们先介绍一下增量

增量,也就是变化量,一个点,从(x,f(x))变化到了(x+ $\Delta x$ ,f(x+ $\Delta x$ )),那么x的增量就是 $\Delta x$ ,因为变化后的x减去变化前的x就是 $\Delta x$ ,f(x)的增量就是f(x+ $\Delta x$ )-f(x),这个其实很好理解,请读者注意,增量虽然名字叫增量,但也可以为负数

连续,顾名思义,从图像来看,就是连贯的,没有断点的,首先我们给出定义

函数在一点连续:f(x)在x_{0}的邻域内有定义,我们设自变量的增量为\Delta x\\ 如果满足\lim_{\Delta x\to0}(f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}))=0,我们就说f(x)在x_{0}点连续\\ 我们也可以把上面的定义写成 \lim_{x\to x_{0}}(f(x)-f(x_{0}))=0\\ 我们还可以写成:\lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})\\

我们一般会用第三种定义来判断是否连续,我们一般要关注这几个点,首先 $f(x_{0})$ 必须存在,然后 $\lim_{x\to x_{0}}f(x)$ 必须存在且等于 $f(x_{0})$ ,必须要以上条件都满足的时候,我们才会说函数在这一点连续

那么接下来介绍一下左连续和右连续,在[§1.4](#§ 1.4 函数极限)中,我们提到了左极限和右极限,我们也知道,上述的定义 $\lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})\Leftrightarrow \lim_{x\to x^{+}_{0}}f(x)=\lim_{x\to x^{-}_{0}}f(x)==f(x_{0})$

如果说函数在这一点连续,我们认为他是在左右两侧都连续,但如果他只满足 $\lim_{x\to x^{+}_{0}}f(x)=f(x_{0})$ 我们就说这个函数在这一点右连续,同理,如果他只满足 $\lim_{x\to x^{-}_{0}}f(x)=f(x_{0})$ 我们就说这个函数在这一点左连续

有了左连续和右连续的概念以后,我们就可以来说在区间内连续了,

需要读者注意的是,我们讨论连续的时候所说的区间一般是闭区间,很少有在开区间连续这种说法,如果一个函数在闭区间内连续,那么这个函数在这个区间内部一定都连续,并且在左端点右连续,在右端点左连续,这个很好理解.

说完了连续,我们来说不连续,我们把函数里面不连续的点称为间断点,并且还给间断点分了类,分为第一类间断点和第二类间断点,第一类间断点又分为可去间断点和跳跃间断点,其余的都是第二类间断点,那么常见的第二类间断点主要是无穷间断点和震荡间断点,如果第一次接触,可能有亿点复杂,但这些都是很好理解的,接下来我们来理解一下这几个间断点是什么意思

无穷间断点: 我们给个例子, $f(x)=\frac{1}{x}$ 在x=0处就是无穷间断点,我们看看图像趋于在这一点趋于无穷就是无穷间断点呗,很简单吧

震荡间断点: 这个也很简单, $f(x)=\sin{\frac{1}{x}}$ 在x=0处就是震荡间断点,看一下图像这个也很好理解把,也就是在这一点来回震荡

跳跃间断点: 这一类间断点一般是在分段函数才会有,我们也给个例子,还记得取整函数吗?我们看他的图像从图像上来看,这个函数在整数点的时候突然上升,就像是跳跃一样,所以我们说这种间断点是跳跃间断点

可去间断点: 可去间断点和跳跃间断点类似,从图像上看就像是一个连续的图像上扣掉了一个点,看一个图像从图像上来看,我们如果把这一点给正确补上去,他就连续了,这种就叫可去间断点

==重点:==以上都是从几何的角度帮助读者理解,但考试的时候不可能把图画出来让你判断是什么类型的间断点,所以我们说一下如何判断这个间断点属于什么类型的间断点,如果左右极限存在,那么这是第一类间断点,如果左右极限存在且不相等,那么属于第一类间断点中的跳跃间断点,如果左右极限存在且相等,但是左右极限的极限值不等于这一点的取值,那么这是第一类间断点中的可去间断点,左右极限中只要有一个不存在,那么这就属于第二类间断点,如果有一个有一侧极限趋于无穷,我们还可以说他是无穷间断点,如果两侧极限不存在但不是无穷,直接写第二类间断点就行了

eg:

y=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{1+x^{n}}在x=1处的连续性\\ 我们讨论连续性的解题思路都是直接取他的左右极限\\ \lim_{x\to 1^{+}}\lim_{n\to \infty}\frac{1}{1+x^{n}}=0\\ \lim_{x\to 1^{-}}\lim_{n\to \infty}\frac{1}{1+x^{n}}=1\\ y\big|_{x=1}=\frac{1}{2}\\ 左右极限存在且不相等,这是第一类间断点中的跳跃间断点

最后介绍连续函数的一些性质

两个连续函数想加减,相乘除(分母不为0),也连续
多项式一定连续
多项式相除依旧连续(分母不为0)
复合函数的求极限法则前面已经提到过了
如果一个函数连续,那么他的反函数也一定连续(严格单调函数才会有反函数)
基本初等函数在定义域内都是连续的
初等函数在定义域内一定连续
在闭区间内连续的函数一定有界
在闭区间内连续的函数一定有最值
在闭区间内连续的函数f(x)的最大值为M,最小值为m,任给一个常数 $c\in (m,M)$ ,都存在一点 $\xi$ 使得f( $\xi$ )=c
(证明题常用)f(x)在[a,b]连续,f(a)·f(b)<0,则[a,b]内至少有一点 $\xi$ ,使得f( $\xi$ )=0

对于本节的考察点一般就是让你判断是否连续,或者已知连续求出一个未知数,读者在做题的时候一般只需要关注一个点,函数在某一点连续等价于函数在这一点的左极限等于在这一点的右极限等于在这一点的取值

第一章：函数与极限 ​

§ 1.1 集合 ​

集合的概念 ​

集合的表示方式 ​

子集的概念 ​

集合相等的概念 ​

空集 ​

** 集合的运算** ​

区间与邻域 ​

§ 1.2 函数 ​

函数的概念 ​

定义域 ​

函数的表示方法 ​

周期函数 ​

奇函数和偶函数 ​

单调函数 ​

有界函数 ​

反函数 ​

基本初等函数 ​

§ 1.3 数列极限 ​

数列极限 ​

§ 1.4 函数极限 ​

情况一: ​

情况二: ​

情况三: ​

情况四: ​

情况五: ​

函数极限的性质: ​

§ 1.5 无穷小量和无穷大量 ​

无穷小量 ​

无穷大量 ​

性质 ​

§ 1.6 极限的运算法则 ​

四则运算 ​

推论 ​

§ 1.7 极限存在的准则和两个重要极限 ​

夹逼定理 ​

单调有界定理 ​

两个重要极限 ​

第一重要极限 ​

第二重要极限 ​

§ 1.8 无穷小量的比较 ​

§ 1.9 函数的连续 ​

第一章：函数与极限

§ 1.1 集合

集合的概念

集合的表示方式

子集的概念

集合相等的概念

空集

集合的运算

区间与邻域

§ 1.2 函数

函数的概念

定义域

函数的表示方法

周期函数

奇函数和偶函数

单调函数

有界函数

反函数

基本初等函数

§ 1.3 数列极限

数列极限

§ 1.4 函数极限

情况一:

情况二:

情况三:

情况四:

情况五:

函数极限的性质:

§ 1.5 无穷小量和无穷大量

无穷小量

无穷大量

性质

§ 1.6 极限的运算法则

四则运算

推论

§ 1.7 极限存在的准则和两个重要极限

夹逼定理

单调有界定理

两个重要极限

第一重要极限

第二重要极限

§ 1.8 无穷小量的比较

§ 1.9 函数的连续