第二章：一元函数微分学

§ 2.1 导数的概念

导数定义:

f(x)在x~0~处的导数的几何意义就是f(x)在x~0~处切线的斜率,那么过(x~0~,f(x~0~))且与切线垂直的线就叫f(x)在x~0~处的法线,法线斜率乘以切线斜率等于-1

那么这里对导数的定义 $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { \Delta y } { \Delta x } = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) } { \Delta x }$

可以等价表示为: $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \lim_{x\to x_{0}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

读者可以看到,这里我们是在用极限定义导数,那么导数完全你可以理解为是一种极限,那他一定也具有极限的性质极限存在的充要条件是左极限和右极限都要存在且相等,同理,==导数存在(可导)的充要条件也一定是左导数和右导数都存在且相等==

左导数的定义: $f_{-} ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0^{-} } \frac { f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) } { \Delta x }=\lim_{x\to x_{0}^{-}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

右导数定义: $f_{-} ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \lim _ { x \rightarrow 0^{+} } \frac { f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) } { \Delta x }=\lim_{x\to x_{0}^{+}}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

导函数:如果一个函数f(x)在区间I内均可导,那么在这个区间内每一个x~0~都有一个f'(x~0~)与之对应,把 $f'(x)=\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) } { \Delta x }$ 称为f(x)在区间I内的导函数

例:

1.\ y=c,求y'\\ 解:y'=\lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { c - c } { \Delta x }=0\\ 即:常数C的导数=0\\ 2.\ y=x^{n},求y'\\ 解:y'=\lim _ { x \rightarrow x_{0} } \frac { f(x) - f(x_{0}) } {x-x_{0} }=\lim _ { x \rightarrow x_{0} } \frac { x^{n} - x_{0}^{n} } {x-x_{0} }=\lim _ { x \rightarrow x_{0} } \frac { x^{n} - x_{0}^{n} } {x-x_{0} }=nx^{n-1}\\ 注:a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}b^{0}+a^{n-2}b^{1}+\cdots +a^{1}b^{n-2}+a^{0}+b^{n-1})\\ 即:(x^{n})'=nx^{n-1},本公式适用于n\in R的任何情况,例:(x^{-\frac{1}{2}})'=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\\ 3.\ y=\sin{x},求y'\\ y'=\lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( x + \Delta x ) - f ( x ) } { \Delta x }=\lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { sin ( x + \Delta x ) - sin( x ) } { \Delta x }=\lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac {2cos(x+\frac{\Delta x}{2})sin(\frac{\Delta x}{2}) } { \Delta x }=\lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } {cos(x+\frac{\Delta x}{2}) }=cosx\\ 即:sin'x=cosx\\ 4.\ y=cosx,求y'\\ y'=\lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( x + \Delta x ) - f ( x ) } { \Delta x }=\lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { cos ( x + \Delta x ) - cos( x ) } { \Delta x }=\lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { -2sin(x+\frac{\Delta x}{2})sin(\frac{\Delta x}{2}) } { \Delta x }=-sinx\\ 即:cos'x=-sinx\\ 5.\ y=a^{x}(a>0,a\neq 1)的导数\\ y'=\lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( x + \Delta x ) - f ( x ) } { \Delta x }=\lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { a^{x+\Delta x } - a^{x} } { \Delta x }=a^{x}\lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { a^{\Delta x } - 1 } { \Delta x }=a^{x}\lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac {e^{\Delta xlna } - 1 } { \Delta x }=a^{x}\lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac {\Delta xlna } { \Delta x }=a^{x}lna\\ 即:(a^{x})'=a^{x}lna,特别的,(e^{x})'=e^{x}\\ 6.\ y=\log_{a}x(a>0,a\neq 1)的导数\\ y'=\lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( x + \Delta x ) - f ( x ) } { \Delta x }=\lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { \log_{a}(x+\Delta x) - \log_{a}x } { \Delta x }=\lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { \log_{a}(1+\frac{\Delta x}{x}) } { \Delta x }=\lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { ln(1+\frac{\Delta x}{x}) } { \Delta x lna}=(xlna)^{-1}\\ 即:(\log_{a}x(a>0,a\neq 1))'=\frac{1}{xlna},特别的,(lnx)'=\frac{1}{x}\\

综上,我们有以下求导公式 $常数C的导数=0$ $(x^{n})'=nx^{n-1}$ $sin'x=cosx$ $cos'x=-sinx$ $(a^{x})'=a^{x}lna$ $(e^{x})'=e^{x}$ $(\log_{a}x(a>0,a\neq 1))'=\frac{1}{xlna}$ $(lnx)'=\frac{1}{x}$

可导和连续的关系

可导可推出: $f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) } { \Delta x }=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 存在

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)+\alpha$ ( $\alpha$ 为该过程的无穷小量)

$\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x+\alpha \Delta x\right]=0$

故f(x)在x~0~连续,即:可导必连续

但连续并不一定可导,这里有个比较简单的反例:y=|x|在x=0处是连续的,但不可导

§ 2.2 求导法则

函数的和差积商求导法则:

u(x)和v(x)在x~0~可导,那么他们的和,差,积,商(分母不为0)均在x~0~可导,这里给几个法则

\begin{array}{l} (u(x) \pm v(x))^{\prime}=u^{\prime}(x) \pm v^{\prime}(x) \\ (u(x) v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x) \\ \left[ \frac{u(x)}{v(x)}\right]^{\prime}=\frac{u^{\prime}(x) v(x)-u(x) v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)} \end{array}

1. $(u(x) \pm v(x))^{\prime}=u^{\prime}(x) \pm v^{\prime}(x)$ 证明

\begin{array}{l} \quad[u(x) \pm v(x)]^{\prime} \\ =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{[u(x+\Delta x) \pm v(x+\Delta x)]-[u(x) \pm v(x)]}{\Delta x} \\ =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} \pm \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x} \end{array}

2. $(u(x) v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x)$ 证明

\begin{array}{l} [u(x) v(x)]^{\prime} \\ =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x) v(x+\Delta x)-u(x) v(x)}{\Delta x} \\ =\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} \cdot v(x+\Delta x)+u(x) \cdot \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\right] \\ =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} \cdot \lim _{\Delta x \rightarrow 0} v(x+\Delta x)+u(x) \cdot \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x} \\ =u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x) . \end{array}

3. $\left[ \frac{u(x)}{v(x)}\right]^{\prime}=\frac{u^{\prime}(x) v(x)-u(x) v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)}$ 证明

\begin{aligned} \left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]^{\prime} &=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} \\ &=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x) v(x)-u(x) v(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x) v(x) \Delta x} \\ &=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{[u(x+\Delta x)-u(x)] v(x)-u(x)[v(x+\Delta x)-v(x)]}{v(x+\Delta x) v(x) \Delta x}\\ &=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} v(x)-u(x) \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}{v(x+\Delta x)v(x)} \\ &=\frac{u^{\prime}(x) v(x)-u(x) v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)} \end{aligned}

推论:
(u(x)*v(x)*g(x))'=u'(x)*v(x)*g(x)+u(x)*v'(x)*g(x)+u(x)*v(x)*g'(x) 规律性很明显,函数和积的导数可以推广到有限项
(cf(x))'=cf'(x)

有了求导公式和求导运算法则,读者大部分函数的导函数都能求了

1.\ y=tanx的导函数\\ (tanx)'=(\frac{sinx}{cosx})'=\frac{cos^{2}x+sin^{2}x}{cos^{2}x}=\frac{1}{cos^{2}x}=sec^{2}x\\ 即:(tanx)'=sec^{2}x\\ 2.\ y=cotx的导函数\\ (cotx)'=(\frac{cosx}{sinx})'=\frac{-sin^{2}x-cos^{2}x}{sin^{2}x}=\frac{-1}{sin^{2}x}=-csc^{2}x\\ 即:(cotx)'=-csc^{2}x\\ 3.\ y=secx的导数\\ (secx)'=(\frac{1}{cosx})'=\frac{sinx}{cos^{2}x}=secx \times tanx\\ 即:(secx)'=secx \times tanx\\ 4.\ y=cscx的导数\\ (cscx)'=(\frac{1}{sinx})'=\frac{-cosx}{sin^{2}x}=-cscx\times cotx\\ 即:(cscx)'=-cscx\times cotx

这里又可以得到四个求导公式
$(tanx)'=sec^{2}x$
$(cotx)'=-csc^{2}x$
$(secx)'=secx \times tanx$
$(cscx)'=-cscx\times cotx$

反函数的求导法则

证由于 $x=f(y)$ 在 $I_{y}$ 内单调、可导(从而连续）,(参照第一章最后一节给到的性质)易得: $x=f(y)$ 的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 存在, 且 $f^{-1}(x)$ 在 $I_{x}$ 内也单调、连续. 任取 $x \in I_{x},$ 给 $x$ 以增量 $\Delta x\left(\Delta x \neq 0, x+\Delta x \in I_{x}\right),$ 由 $y=f^{-1}(x)$ 的单调性可知

\Delta y=f^{-1}(x+\Delta x)-f^{-1}(x) \neq 0

于是有

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}

因 $y=f^{-1}(x)$ 连续,故

\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=0

从而

\left[f^{-1}(x)\right]^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}=\frac{1}{f^{\prime}(y)}

上述结论可简单地说成: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

这里我们推一下反三角函数的导数:\\ y = sinx 的反函数为y=arcsinx,直接函数为x=siny\\ 直接函数对y求导为cosy,在取个倒数就是\frac{1}{cosy}=\frac{1}{cosarcsinx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\\ 注:cosarcsinx=\sqrt{1-(sinarcsinx)^{2}}=\sqrt{1-x^{2}}\\ 即:(arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\\ y=cosx的反函数为y=arccosx,直接函数为x=cosy\\ 直接函数对y求导得-siny,取个倒数为\frac{1}{-siny}=\frac{-1}{sinarccosx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\\ 注:sinarccosx=\sqrt{1-(cosarccosx)^{2}}=\sqrt{1-x^{2}}\\ 即:(arccosx)'=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\\ y=tanx的反函数为y=arctanx,直接函数为x=tany\\ 直接函数对y求导为sec^{2}y,取倒数为\frac{1}{sec^{2}y}=cos^{2}arctanx\\ 令a=arctanx,即tana=x\\ cosa=\sqrt{1-sin^{2}a}\\ 1=\sqrt{\frac{1-sin^{2}a}{cos^{2}a}}=\sqrt{\frac{1}{cos^{2}a}-tan^{2}a}=\sqrt{\frac{1}{cos^{2}a}-x^{2}}\\ 注:其实不用这么麻烦,这里主要是告诉读者一个公式,cos^{2}arctanx=\frac{1}{1+x^{2}},了解即可// 即:cos^{2}a=cos^{2}arctanx=\frac{1}{1+x^{2}}\\ 即:(arctanx)'=\frac{1}{1+x^{2}}\\ y=cotx的反函数为y=arccotx,直接函数为x=coty\\ 直接函数对y的导数为-csc^{2}x,取个倒数为\frac{-1}{csc^{2}x}=\frac{-1}{1+cot^{2}x}=\frac{-1}{1+x^{2}}\\ 即:(arccotx)'=\frac{-1}{1+x^{2}}

以上我们又给出了四个求导公式
$(arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ $(arccosx)'=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ $(arctanx)'=\frac{1}{1+x^{2}}$ $(arccotx)'=\frac{-1}{1+x^{2}}$
再补充两个公式
$arcsinx+arccosx=\frac{\pi}{2}$ $arctanx+arccotx=\frac{\pi}{2}$

复合函数求导法则

证由于 $y=f(u)$ 在点 $u$ 可导，因此

\lim _{\Delta u \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta u}=f^{\prime}(u)

存在,于是根据极限与无穷小的关系有

\frac{\Delta y}{\Delta u}=f^{\prime}(u)+\alpha(\Delta u)

其中 $\alpha(\Delta u)$ 是 $\Delta u \longrightarrow 0$ 时的无穷小. 上式中 $\Delta u \neq 0,$ 用 $\Delta u$ 乘上式两边,得

\Delta y=f^{\prime}(u) \Delta u+\alpha(\Delta u) \cdot \Delta u

$(2-7)$ 当 $\Delta u=0$ 时,规定 $\alpha(\Delta u)=0^{\text {(1) }},$ 这时因 $\Delta y=f(u+\Delta u)-f(u)=0,$ 而 $(2-7)$ 式右端亦为零,故 $(2-7)$ 式对 $\Delta u=0$ 也成立. 用 $\Delta x \neq 0$ 除 $(2-7)$ 式两边,得

\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}(u) \frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha(\Delta u) \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}

(1) 这时, $\alpha(\Delta u)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\Delta y}{\Delta u}-f^{\prime}(u), & \Delta u \neq 0, \\ 0, & \Delta u=0,\end{array}\right.$ 函数 $\alpha(\Delta u)$ 在 $\Delta u=0$ 处连续, 即 $\lim _{\Delta u \rightarrow 0} \alpha(\Delta u)=0=\alpha(0) .$

于是

\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[f^{\prime}(u) \frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha(\Delta u) \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}\right]

根据函数在某点可导必在该点连续的性质知道, 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时, $\Delta u \longrightarrow 0$ , 从而可以推知

\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \alpha(\Delta u)=\lim _{\Delta u \rightarrow 0} \alpha(\Delta u)=0

又因 $u=g(x)$ 在点 $x$ 处可导，有

\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta u}{\Delta x}=g^{\prime}(x)

故

\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}(u) \cdot \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta u}{\Delta x}

即

\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=f^{\prime}(u) \cdot g^{\prime}(x)

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ 该公式可以叫做链导公式
该公式可以推广到多个中间变量

例:

y=e^{x^{2}}的导数\\ u=x^{2},y=e^{u}\\ \frac{dy}{du}=e^{u},\frac{du}{dx}=2x\\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=2xe^{u}=2xe^{x^{2}}

有了这个公式,我们可以换一个思路证明前面已经证明过的两个运算法则

证明:(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\ 令u(x)=f(x)g(x),lnu(x)=lnf(x)+lng(x)\\ (lnu(x))'=(lnf(x))'+(lng(x))'\\ \frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{u'(x)}{f(x)g(x)}=\frac{f'(x)}{f(x)}+\frac{g'(x)}{g(x)}\\ 同乘f(x)g(x)得u'(x)=(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\ 同理,我们可以来证明\left[ \frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x)}{g^{2}(x)}\\ 令v(x)=\frac{f(x)}{g(x)},lnv(x)=lnf(x)-lng(x)\\ (lnv(x))'=(lnf(x))'-(lng(x))'\\ \frac{v'(x)}{v(x)}=\frac{v'(x)}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}\\ 同乘\frac{f(x)}{g(x)}得v'(x)= \left[ \frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}=\frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}=\frac{f'(x)g(x)}{g^{2}(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}=\frac{f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x)}{g^{2}(x)}

以上这种求个对数后再两边同时求导的方法我们称为对数求导法,这个方法可以用来解决一些由很多乘除法连起来的函数

我们再来补一个坑,前面我们证明了 $x^{u}$ 的导数为 $ux^{u-1}$ 读者注意,我们前面证明的是当 $u$ 等于整数的时候是成立的,我们现在证明当 $u\in R$ 都是成立的

证:

当x>0时,x^{u}=e^{ulnx},(e^{ulnx})'=e^{ulnx}\cdot ux^{-1}=x^{u}ux^{-1}=ux^{u-1}\\ 当x<0时,x^{\frac{1}{3}}=-(-x)^{\frac{1}{3}},此时-x>0证明过程同上\\

双曲函数(了解)

双曲正弦: $sinhx=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$

双曲余弦: $coshx=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$

双曲正切: $tanhx=\frac{shx}{chx}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$

反双曲正弦: $arcsinhx=ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$

反双曲余弦: $arcsinhx=ln(x+\sqrt{x^{2}-1})$

反双曲正切: $arctanhx=\frac{1}{2}\ln{\frac{1+x}{1-x}}$

双曲函数的导数 $(sinhx)'=coshx\ \ \ \ (coshx)'=sinhx\ \ \ \ (tanhx)'=\frac{1}{(coshx)^{2}}$ 反双曲函数的导数 $(arcsinhx)'=(x^{2}+1)^{-\frac{1}{2}} \ \ \ \ (arccoshx)'=(x^{2}-1)^{-\frac{1}{2}}\ \ \ \ (arctanhx)'=(1-x^{2})^{-1}$

§ 2.3 高阶函数

高阶导数,顾名思义就是多次求导,我们把二阶及以上的导数统称为高阶导

在一阶导函数y'的基础上再求导得到y'',我们就得到了y的二阶导函数二阶导数可以记作y''或f''(x)或 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$

当然,有了二阶导,就有三阶的导数y'''

也有n阶导,如果y的n-1阶导数可导,就有n阶导,记作 $y^{(n)}$ 或 $f^{(n)}(x)$ 或 $\frac{d^{n}y}{dx^{n}}$

当然,如果y=f(x)在x点有n阶导数,那么我们就称f(x)在x点有n阶导首先,我们知道,如果f(x)在x点的导数存在,那么f(x)在x点的邻域内一定要存在如果y=f(x)在x点有n阶导数,那么f(x)的n-1阶导在x的一个邻域内存在

1.\ y=tanx,求y''和y'''\\ y'=sec^{2}x,y''=2sec^{2}xtanx=2(1+tan^{2}x)tanx=2tanx+2tan^{3}x,\\ y'''=2sec^{2}x+6tan^{2}xsec^{2}x\\ 2.\ y=xe^{2x},求y''\\ y'=e^{2x}+2xe^{2x}\\ y''=2e^{2x}+2e^{2x}+4xe^{2x}=4e^{2x}+4xe^{2x}\\ 3.\ y=f(e^{2x})求y''\\ y'=2e^{2x}f'(e^{2x})\\ y''=4e^{2x}f'(e^{2x})+4e^{4x}f''(e^{2x})

现在来区分一下 $f''(e^{2x})$ 和 $[f(e^{2x})]''$ 的区别,这个很重要,一定要理解 $[f(e^{2x})]''$ 表示的是 $f(e^{2x})$ 这个复合函数整体对x的二阶导函数而 $f''(e^{2x})$ 仅仅表示 $f(u)$ 的二阶导函数在 $u=e^{2x}$ 这一点的取值,也就是把外层函数f(u)求二阶导后再把u换成 $e^{2}$

常用的高阶导数

(e^{x})^{(n)}=e^{x}\\ (a^{x})^{n}=a^{x}(\ln{a})^{n}\\ (x^{u})^{(n)}=u(u-1)\cdots (u-n+1)x^{u-n}\\ 特别的:(x^{n})^{(n)}=n!\ \ \ \ n\in Z^{+}\\ (\frac{1}{x+a})^{(n)}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x+a)^{n+1}}\\ (sinx)^{(n)}=sin(x+\frac{n\pi}{2})\\ (cosx)^{(n)}=cos(x+\frac{n\pi}{2})\\ (f(ax+b))^{(n)}=a^{n}f^{(n)}(ax+b)\ \ \ \ 注意(f(ax+b))^{(n)}和f^{(n)}(ax+b)的区别\\ (u±v)^{(n)}=u^{(n)}±v^{(n)}\\ (uv)^{(n)}=u^{(n)}v+nu^{(n-1)}v^{(1)}+C_2^nu^{(n-2)}v^{(2)}\cdots C_{k}^{n-k}u^{(n-k)}v^{(k)}+uv^{(n)}\\ =\sum_{r=0}^{n} C_{n}^{r} a^{(n-r)} b^{(r)}\ \ \ \ \ 该公式叫做莱布尼兹公式

二项式展开: $(a+b)^{n}=\sum_{r=0}^{n} C_{n}^{r} a^{n-r} b^{r}$

§ 2.4 微分

微分的概念

首先我们已经有了导数的定义,我们通过导数的定义来引入微分,即:

y=f(x)\\ f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { \Delta y } { \Delta x } = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) } { \Delta x }\\ 由极限和无穷小的关系:\frac { \Delta y } { \Delta x }=f ^ { \prime }(x_{0})+\alpha\ \ \ (\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\alpha=0)\\ 即: \Delta y=f'(x_{0})\Delta x+\alpha\Delta x\\ 到这里,我们通过导数的定义以及极限和无穷小的关系就推出了一个\Delta y的一个等式\\ 在学习微分之前,如果读者想要根据\Delta x估算\Delta y,应该只会用\Delta y=f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } )\\ 但我们推出来了这个公式,即:\Delta y=f'(x_{0})\Delta x+\alpha\Delta x\\ 我们就可以用这个公式来估算\Delta y了,但读者会发现,我们无法知道\alpha 具体是什么\\ 但我们知道\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\alpha=0且\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta x=0\\ 所以,当\Delta x变化很小的时候,\alpha\Delta x就是\Delta x的高阶无穷小量,即\alpha\Delta x=o(\Delta x)\\ 所以我们也有这个公式:\lim_{\Delta x\to 0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to 0}(f'(x_{0})\Delta x+o(\Delta x))=\lim_{\Delta x\to 0}(f'(x_{0})\Delta x)\\ 但请读者注意,前面说了,我们这里主要是用\Delta x估算\Delta y,所以实际上我们只能取到一个很小的数,是不能取到0的\\ 所以当\Delta x非常小但不是0的情况下,我们只有\Delta y\approx f'(x_{0})\Delta x\\ 由于在\Delta y=f'(x_{0})\Delta x+\alpha\Delta x中,f'(x_{0})\Delta x是主要的部分,所以我们把f'(x_{0})\Delta x称为线性主部,记作dy\\ 即:\Delta y\approx f'(x_{0})\Delta x=dy,而这个线性主部dy,就是函数f(x)在x_{0}处的微分

接下来我们推一下f(x)=x这个函数的微分

y=f(x)=x\\ dy=dx = f'(x)\Delta x=1\Delta x=\Delta x\\ 所以我们就有了一个新的等式,即;\Delta x = dx\\ 上述微分的定义为:dy=f'(x)\Delta x=f'(x)dx\\ 这就是微分

引入了微分的概念,我们再看一下教科书级别的精确定义:

y=f(x)在x_{0}的某U(x_{0})内有定义\\ 若\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})可表示为\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)(\Delta x \to 0)\\ 其中A为\Delta x的无关量,则称y=f(x)在x_{0}处可微,A\Delta x是\Delta y的线性主部\\ 并称其为y=f(x)在x_{0}处的微分,记作dy,即dy=A\Delta x

我们看到了,定义给的是 $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})可表示为\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)(\Delta x \to 0)其中A为\Delta x的无关量,则称y=f(x)在x_{0}处可微$ ,这里之所以用A,是因为如果在定义的时候直接写成f'(x)就会很莫名其妙,就感觉可微是可导推出来的概念一样,请记住可微和可导是两个独立的条件.那么前面我们已经推出来了一个性质,只要函数可导,那么 $\Delta y=f'(x_{0})\Delta x+\alpha\Delta x$ 并且f'(x)是 $\Delta x$ 的无关量就完全符合了可微的定义,所以我们就已经知道了,可导函数必然可微

定理:f(x)在x处可微的充要条件是f(x)在x处可导,并且A=f'(x),接下来我们来证明

充分性,即可导一定可微在前面的分析里已经证明了\\ 必要性,即可微一定可导,现在来证明:\\ 由可导,有:\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)(\Delta x \to 0)\\ 同除\Delta x有:\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=A=f'(x)\\ 即:f(x)在x处可导,且A=f'(x)

eg:

1.\ y=e^{x},求dy\\ dy = y'dx=e^{x}dx\\ 2.\ 估算\sqrt[3]{8.03}\\ 令y=f(x)=\sqrt[3]{x}前面已经给出了,\Delta y\approx f'(x_{0})\Delta x\\ 而f(8.03)=f(8)+(f(8+0.03)-f(8))=f(8)+\Delta y\\ 在这里x_{0}是8,\Delta x是0.03\\ \Delta y\approx \frac{1}{3}8^{-\frac{2}{3}} \cdot 0.03=\frac{1}{12}\cdot 0.03=0.0025\\ 即f(8.03)\approx2+0.0025=2.0025

微分的几何意义

我们看 $x^{2}$ 在1到2上的变化

其中1点到2点的距离为x的变化量 $\Delta x$ ,2点到4点为y的增量 $\Delta y$ ,绿线为 $y=x^{2}$ 在(1,1)处的切线,由 $dy=f'(x_{0})dx$ 知, $\Delta y \approx dy=tan \angle312 \cdot \Delta x = 2点和3点长度$

由于这里 $\Delta x$ 是一个很大的值,所以误差很大,当增量很小的时候,误差是可以忽略不记的,所以如果我们用微分做近似运算,那么 $\Delta x$ 一定要是一个很小的数才能让误差很小

微分的四则运算 $d(u+v)=du+dv$ $d(uv)=vdu+udv$ $dcu=cdu (c为常数)$ $d\frac{u}{v}=\frac{udv-vdu}{v^{2}}$

§ 2.5 微分中值定理

费马引理:

$如果f(x)在x_{0}\ 和U(x_{0})内有定义,且在x_{0}处可导,如果任给U(x_{0})都满足f(x)\leq f(x_{0}),或f(x)\geq f(x_{0}),则f'(x_{0})=0$

证明:\\ 假设x \in U\left(x_{0}\right) . \quad f(x) \leq f\left(x_{0}\right)\\ 取x_{0}+\Delta x\in U(x_{0})\\ f(x_{0}+\Delta x)\leq f(x_{0})\\ 求f'(x_{0})\\ f'_{-}(x_{0})=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x} \geq 0\\ f'_{+}(x_{0})=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x} \leq 0\\ 由于可导,左导数等于右导数=0

驻点:一阶导数等于0的点我们称为驻点

罗尔定理:

条件:\\ 1. 在[a,b]连续\\ 2. 在(a,b)可导\\ 3. f(a)=f(b)\\ 结论:\\ 则在(a,b)内至少存在一点\xi ,使得f'(\xi )=0

拉格朗日中值定理

条件:\\ 1. 在[a,b]连续\\ 2. 在(a,b)可导\\ 结论:\\ 则在(a,b)内至少存在一点\xi ,使得f'(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\ 也可以写成f'(\xi )(b-a)=f(b)-f(a)

这两个定理画一个图是很好理解的,不难看出,罗尔定理其实是拉格朗日中值定理的一个特殊情况

我们再给一个简单的定理

定理:

条件:\\ 1. f(x)在区间I上连续\\ 2. f(x)在区间i内的导数恒为0\\ 结论:\\ 在区间I内,f(x)=C\\ 证明:\\ \forall x_{1},x_{2}\in I 由拉格朗日中值定理:\exists \xi \in(x_{1},x_{2}),使得f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=f'(\xi)\left(x_{1}-x_{2}\right)\\ 由于导数为0,即f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=0,f(x_{1})=f(x_{2})在区间I内恒成立 \#

柯西中值定理

柯西中值定理和拉格朗日类似,

条件:\\ 1. f(x)和F(x)在[a,b]连续\\ 2. f(x)和F(x)在(a,b)可导\\ 3. \forall x\in (a,b),F'(x)\neq 0\\ 结论:\\ 至少有一点\xi \in(a,b) 使得\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}

柯西中值定理可以看做拉格朗日中值定理的参数方程形式

§ 2.6 泰勒定理

我们见过很多函数,最简单的函数莫过于多项式,因为我无论给你什么值,你都可以马上算出来,但形如 $,ln1.2,e^{2.5},sin2$ 就很难算,遇到这种函数我们只有按计算器,那问题来了,计算机又是怎么算的,这就要涉及到泰勒展开了,泰勒展开的核心就是用一个多项式来代表一个不怎么好算的函数

在前面微分的时候我们有个估算的公式,即: $\Delta y=f'(x)\Delta x +O(\Delta x )\ (x\to 0)$

或者说: $f(x)-f(x_{0})\approx f'(x_{0})(x-x_{0})$

这里我们已知f(x~0~)是已知量, $f'(x_{0})$ 也是已知量, $x_{0}$ 也是已知量,所以我们可以得到一个这个东西: $f(x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$

这里就有了一个近似于f(x)的多项式函数但是这个函数存在着严重的问题,也就是精度不够,他只是一个一次函数,我们知道,形如 $e^{x}$ 这类函数是可以无限求导的,但是多项式就不行,所以这种函数写成多项式一定是一个无穷项的多项式那么我们是否可以用一个n次多项式来代表f(x)?写成一个n次多项式后的误差是多大?这些都是我们考虑的问题

定理: $若f(x)在含有x_{0}的某个(a,b)内有n+1阶导数,则f(x)课表示为x-x_{0}的一个n次多项式+R_{n}(x)$ $f(x)=\alpha_{0}(x-x_{0})^{0}+\alpha_{1}(x-x_{0})^{1}+\alpha_{2}(x-x_{0})^{2}...\alpha_{n}(x-x_{0})^{n}+R_{n}(x)$

以上就是泰勒公式,现在我们来求每一个 $\alpha$ 到底到底是什么东西

两个函数如果相同,并且有n阶导数,那么他们的n阶导数都相同\\ f^{(n)}(x_{0})=\alpha_{n}n!\\ 上面这个多项式的高阶导数可以仔细参考§2.3的内容\\ 我们把\alpha_{n}反解出来,即\alpha_{n}=\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}\\ 咱们再把\alpha_{n}带入,就得到了泰勒定理\\ 若f(x)在包含x_{0}的区间(a,b)内有n+1阶导数,则\\ f(x)=\sum ^{n}_{k=0}\frac{f^{(k)}({x_{0}})}{k!}(x-x_{0})^{k}+R_{n}(x)\\ 这就是f(x)在x_{0}其处的泰勒展开,R_{n}(x)叫余项,也可以认为是误差,R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}\\ 其中\xi为x_{0}和x之间的一个数,这种余项叫做拉格朗日余项,这种表达式就是带拉格朗日余项的泰勒公式

上面是f(x)在 $x_{0}$ 处的展开,那么我们让 $x_{0}=0$ ,我们就得到了f(x)在0处的展开,也就是:

$f(x)=\sum ^{n}_{k=0}\frac{f^{(k)}({0})}{k!}(x)^{k}+R_{n}(x)\\R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x)^{n+1}$

这就是f(x)在0处的展开,也叫带拉格朗日余项的麦克劳林公式

可以看到,如果我们有一个函数的n阶导数,我们就可以把他展开成多项式

eg:

f(x)=e^{x}\\ 写出n阶麦克劳林展开式\\ f^{(n)}(0)=e^{0}=1\\ 所以我们就有:\\ f(x)=e^{x}=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{n}+R_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}+R_{n}(x)

我把上面式子展开看一下

e^{x}=1+x+\frac{1}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{1}{n !} x^{n}+R_{n}(x)

把余项去掉:

e^{x} \approx 1+x+\frac{1}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{1}{n !} x^{n}

看到了个东西: $e^{x}\approx 1+x$ 即: $e^{x}-1\approx x$ ,这个就是一个等价无穷小呀其实等价无穷小就是从这来的,当x趋近于0的时候,后面x^n^(n>1)都是x的高阶无穷小,在求极限的过程中都是可以省去的,这就是等价无穷小的来历

eg:

f(x)=\sin{x}\\ 写出n阶麦克劳林展开式\\ f^{(n)}(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2})\\ f^{(0)}(0)=0\ \ f^{(1)}(0)=1\ \ f^{(2)}(0)=0\ \ f^{(3)}(0)=-1\ \ f^{(4)}(0)=f(0)=0\\ 可以看到,偶数阶导数系数为0,也就是说,只有奇数项,并且正负是交错出现的,我们就有\\ sinx = x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+R_{2n}(x)\\ sinx = \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k-1}\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+R_{2n}(x)\\ 等价无穷小我们也说过sinx \sim x,这里也可以看出来

这里给张图:

当对sinx在0点展开的时候,每多一项就会更近似一些

以上下面还有一些常见的麦克劳德展开式,这里不一一证明了

\begin{array}{ll} \frac{1}{1-x}=\mathop{ \sum }\limits_{n=0}^{ \infty }\mathop{x}\nolimits^{n} & { \left( {-1 < x < 1} \right) }\\ e^{x}=\mathop{ \sum }\limits_{n=0}^{ \infty }\frac{1}{n!}\mathop{x}\nolimits^{n} & { \left( {- \infty < x < \infty } \right) }\\ \text{sin} x=\mathop{ \sum }\limits_{k=0}^{ \infty }\frac{\mathop{ \left( {-1} \right) }\nolimits^{k}}{ \left( {2k+1} \right) !}\mathop{x}\nolimits^{2k+1} & { \left( {- \infty < x < \infty } \right) }\\ \text{cos} x=\mathop{ \sum }\limits_{k=0}^{ \infty }\frac{\mathop{ \left( {-1} \right) }\nolimits^{k}}{ \left( {2k} \right) !}\mathop{x}\nolimits^{2k} & { \left( {- \infty < x < \infty } \right) }\\ \frac{1}{1+x}=\mathop{ \sum }\limits_{n=0}^{ \infty }\mathop{ \left( {-1} \right) }\nolimits^{n}\mathop{x}\nolimits^{n} & { \left( {-1 < x < 1} \right) }\\ \text{ln} { \left( {1+x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{n=0}^{ \infty }\frac{\mathop{ \left( {-1} \right) }\nolimits^{n}}{n+1}\mathop{x}\nolimits^{n+1} & { \left( {-1 < x \le 1} \right) }\\ \mathop{a}\nolimits^{x}=\mathop{ \sum }\limits_{n=0}^{ \infty }\frac{\mathop{ \left( { \text{ln} a} \right) }\nolimits^{n}}{n!}\mathop{x}\nolimits^{n} & { \left( {- \infty < x < \infty } \right) }\\ \frac{1}{1+\mathop{x}\nolimits^{2}}=\mathop{ \sum }\limits_{n=0}^{ \infty }\mathop{ \left( {-1} \right) }\nolimits^{n}\mathop{x}\nolimits^{2n} & { \left( {-1 < x < 1} \right) } \end{array}

请注意,前面我们说的展开成n次麦克劳林多项式,展开后都是一个n次多项式+一个余项,但以上函数都是可以无限求导的,所以展开后也就有无穷项,也就不存在余项了

所以我们又有了麦克劳林级数和泰勒级数,即:

\begin{array}{l} f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{n=0}^{ \infty }\frac{1}{n!}\mathop{f}\nolimits^{n}{ \left( {\mathop{x}\nolimits_{0}} \right) }\mathop{ \left( {x-\mathop{x}\nolimits_{0}} \right) }\nolimits^{n},x \in U{ \left( {\mathop{x}\nolimits_{0}} \right) }\\ f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{n=0}^{ \infty }\frac{1}{n!}\mathop{f}\nolimits^{n}{ \left( {0} \right) }\mathop{x}\nolimits^{n},x \in U{ \left( {0} \right) } \end{array}

以上两个级数成立的前提是级数的余项极限为0,如果读者还不了解级数,可以参考后面的章节

§ 2.7 洛必达法则

洛必达法则是一个求极限的方法,主要是用来解决我们头疼的未定式极限

未定式极限:读者可以认为未定式极限主要只有一种,即 $\frac{\infty}{\infty}$ 型极限 $\frac{0}{0}=0\cdot \frac{1}{0}=\frac{\frac{1}{0}}{\frac{1}{0}}=\frac{\infty}{\infty}$ $\infty \cdot 0 = \frac{\infty}{\frac{1}{0}}=\frac{\infty}{\infty}$ $1^{\infty}=e^{\infty\cdot0}=e^{\frac{\infty}{\infty}}$ $0^{0}=e^{0\cdot \infty}=e^{\frac{\infty}{\infty}}$ $\infty^{0}=e^{0\cdot \infty}=e^{\frac{\infty}{\infty}}$ $\infty-\infty也属于未定式极限,在计算的时候也需要读者根据情况转换成分式后计算$

定理:

条件:\\ 如果f(x)和g(x)满足\lim f(x)=\lim g(x)=0\\ 在x_{0}的某个去心邻域内,f(x)和g(x)都可导,且g'(x)\ne 0\\ \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}=a或无穷\\ 结论:\\ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}=a或无穷

证明:\\ 已知: f(x)和g(x)满足\lim f(x)=\lim g(x)=0\\ 在x_{0}的某个去心邻域内,f(x)和g(x)都可导,且g'(x)\ne 0\\ \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}=a或无穷\\ 证明:\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}=a或无穷\\ 取一个区间[x_{0},x]\\ 由于f(x)和g(x)在x_{0}可导,则必然连续\\ 即\lim_{x\to x_{0}} f(x)=\lim_{x\to x_{0}} g(x)=f(x_{0})=g(x_{0})=0\\ 由柯西中值定:则在(x_{0},x)内一定存在一点\xi 使得\frac{f(x)-f(x_{0})}{g(x)-g(x_{0})}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\\ 由于f(x_{0})=g(x_{0})=0,即\frac{f(x)-0}{g(x)-0}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\\ 令x\to x_{0},由于\xi\in(x_{0},x),则\xi\to x_{0}\\ 则有\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{\xi\to x_{0}}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f'(x)}{g'(x)}=a或无穷

洛必达法则可以多次使用

eg:

\lim_{x\to 0}\frac{x-sinx}{x^{3}}=\lim_{x\to 0}\frac{1-cosx}{3x^{2}}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{2}x^{2}}{3x^{2}}=\frac{1}{6}

只有 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 才去用
一般和等价无穷小结合使用
如果求完导后极限不存在且不是无穷,那么这个题目不满足洛必达的条件,改用其他方法

\lim_{x\to \infty} \frac{x+sinx}{x}\\ 我们考虑一下洛必达法则:\\ 上下求导得:\lim_{x\to \infty}\frac{1+cosx}{1}\\ 请注意,这个函数的极限是不存在的,并且不是无穷大,所以这个题目是不能用洛必达的\\ 考虑用其他方法,由于\frac{x}{x}的极限是存在的,我们考虑使用极限的四则运算\\ 即:\lim_{x\to \infty} \frac{x+sinx}{x}=\lim_{x\to \infty} \frac{x}{x}+\lim_{x\to \infty} \frac{sinx}{x}=1+0=1\\

在前面说四则运算的时候我们说过,f(x)和g(x)的极限都存在才可以拆开,但实际没这么严格,只需要f(x)或g(x)的极限存在即可,我们不妨设f(x)的极限存在,倘若g(x)极限存在,那么极限存在并且可以拆开,倘若g(x)极限不存在,那么整体极限也不存在了,并不影响结果

§ 2.8 函数的凹凸性和单调性

单调性

单调性在第一章已经说过了,我们只给结论,如果f(x)在区间内可导,且导函数均大于0,则f(x)在区间内单调递增,如果f(x)在区间内可导,且导函数均小于0,则f(x)在区间内单调递减 eg:

讨论y=e^{x}-x-1在定义域内的单调性\\ y定义域为R,y'=e^{x}-1,很显然,x>0的时候,y'大于0,增函数,当x<0的时候,y<0,减函数\\ 所以在(-\infty,0)内单调递减,在(0,\infty)内单调递增

单调区间的分界点有可能是驻点(导数为0),也有可能是不可导点

凹凸性

从f(x)上任取两点x_{1}和x_{2},这两点所连成的直线为g(x),若在区间(x_{1},x_{2})内都由f(x)<g(x),那么f(x)在区间(x_{1},x_{2})内为凹函数\\ 从f(x)上任取两点x_{1}和x_{2},这两点所连成的直线为g(x),若在区间(x_{1},x_{2})内都由f(x)>g(x),那么f(x)在区间(x_{1},x_{2})内为凸函数\\

定理:

一: 设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续, (a, b) 内可导\\ 1. 如果在区间 (a, b) 上 f^{\prime}(x) 单调递增, 那么 f(x) 在 [a, b] 上是凹的。\\ 2. 如果在区间 (a, b) 上 f^{\prime}(x) 单调递减, 那么 f(x) 在 [a, b] 上是凸的。\\ 二: 设函数 f(x) 在区间 [\mathrm{a}, \mathrm{b}] 上连续, (\mathrm{a}, \mathrm{b}) 内二阶可导\\ 1. 如果在区间 (a, b) 上 f^{\prime \prime}(x)>0, 那么 f(x) 在 [a, b] 上是凸函数 ( 图像为凹的)\\ 2. 如果在区间 (a, b) 上 f^{\prime \prime}(x)<0, 那么 f(x) 在 [a, b] 上是凹函数 (图像为凸的)\\

y=lnx在(0,+\infty)的凹凸性\\ y'=\frac{1}{x}\\ y''=\frac{-1}{x^{2}}\\ 当x\in (0,+\infty)内,y''<0,为凸函数

拐点:经过这个点,凸凹性改变的点,如果一个点是拐点,那么二阶导要么等于0,要么不存在

§ 2.9 极值和最值

极大值与极小值

定义:

\exists U(x_0)使得\forall x\in \mathring{U}(x_0)都由f(x)<f(x_{0})则称f(x_{0})为该函数的极大值,x_{0}点就叫他的极大值点\\ \exists U(x_0)使得\forall x\in \mathring{U}(x_0)都由f(x)<f(x_{0})则称f(x_{0})为该函数的极小值,x_{0}点就叫他的极小值点\\

极值是一个局部的概念,他只是在一个小邻域内他最大或者最小,并且极值也是不唯一的

定理: $如果f(x)在x_{0}可导,且在x_{0}取到极值,那么f'(x_{0})=0$

证明:\\ 假设x_{0}可导,且取到的是一个极大值点则在x\in \mathring{U}(x_0)时,都有f(x_{0}+\Delta x)<f(x_{0})\\ 即f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})<0\\ 在x_{0}点左导数:\lim_{\Delta x\to 0^{-}}\frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x} \geqslant 0\\ 在x_{0}点右导数:\lim_{\Delta x\to 0^{+}}\frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x} \leqslant 0\\ 证毕\#

前面提到过,驻点就是导数为0的点,故,可导函数的极值点的一定是驻点,是驻点的不一定是极值点,例如 $x^{3}$ 在x=0的时候既不是极大值,也不是极小值此外,导数不存在的点也可以是极值点,例如|x|在x=0处就是极小值综上所述:极值点一定是驻点或者不可导点,但驻点和导数不存在的点未必都是极值点

这里我们就需要一个办法来判断极值点定理:

判断方法1:\\ f(x)在U(x_{0},\delta x)内连续,在\mathring{U}(x_0)内可导,且f'(x_{0})=0或f'(x_{0})不存在\\ 1.若x\in (x_{0}-\delta x,x_{0}),f'(x)>0且x\in (x_{0},x_{0}+\delta x),f'(x)<0,则x_{0}为极大值点\\ 2.若x\in (x_{0}-\delta x,x_{0}),f'(x)<0且x\in (x_{0},x_{0}+\delta x),f'(x)>0,则x_{0}为极小值点\\ 判断方法2:\\ f(x)在U(x_{0},\delta x)内连续,在\mathring{U}(x_0)内可导,且f'(x_{0})=0或f'(x_{0})不存在\\ 1.若f(x_{0})不可导,则按照方法1判断\\ 2.若f(x_{0})可导,若f'(x_{0})=0且f''(x_{0})\neq 0,则取到极值点,f''(x_{0})>0取到极小值,f''(x_{0})<0取到极大值,f''(x_{0})=0无法判断

使用以上定理,我们就可以求出极值,下面给出解题步骤

求定义域
在定义域内,找出导数不为0的点和不可导点
判断这些点左右的单调性
根据定理判断是极大值还是极小值
带入求值

1. y =(x-1)^{2}(x+1)^{3} 的极值点\\ 定义域为:x\in R\\ y'=2(x-1)(x+1)^{3}+3(x-1)^{2}(x+1)^{2} \\ y'=(x-1)(x+1)((2x-1)+3(x^{2}-1))\\ y'=(x-1)(x+1)^{2}(5x-1)\\ y'定义域为R,不存在不可导点\\ 令y'=0,解出x=1或x=-1或x=\frac{1}{5}\\ 当x\in(-\infty,-1),(x-1)<0,(x+1)^{2}>0,(5x-1)<0即y'>0\\ 当x\in(-1,\frac{1}{5}),(x-1)<0,(x+1)^{2}>0,(5x-1)<0即y'>0\\ 当x\in(\frac{1}{5},1),(x-1)<0,(x+1)^{2}>0,(5x-1)>0即y'<0\\ 当x\in(1,\infty),(x-1)>0,(x+1)>0,(5x-1)>0即y'>0\\ 综上:-1不是极值点,\frac{1}{5}为极大值点,1为极小值点\\ 2.y=x-\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}定义域:(-\infty,+\infty)\\ f'(x)=1-\frac{1}{\sqrt[3]{x} }(x\in(-\infty,0)\cup (0,\infty))\\ 令f'(x)=0,x=1\\ x\in (-\infty ,0),f'(x)>0\\ x\in (0,1),f'(x)<0\\ x\in (1,\infty),f'(x)>0\\ 即,0为极大值点,1位极小值点

最值

$若f(x)在区间I内有定义,x\in I,有f(x_{0})\leq f(x),则称x_{0}为最小值点$ $若f(x)在区间I内有定义,x\in I,有f(x_{0})\geq f(x),则称x_{0}为最大值点$ 最值不同于极值,强调的是整个区间的概念

求最值的方法:

找出所有极值点(实际上只需要找出导数为0的点和不可导点即可)
找出区间端点
对函数值进行比较

最值是唯一的,但是最值点不是唯一的

y=2x^{3}+3x^{2}-12x+14(x\in R)在[-3,4]的最值\\ 解:y'=6x^{2}+6x-12(x\in R)\\ 令y'=0,解出x=-2或x=1\\ f(-2)\\ f(1)\\ f(-3)\\ f(4)\\ 判断以上四个值的大小,最小为7,最大值为142

若函数f(x)在[a,b]连续,并且是严格单调函数,最值一定在端点上若可导函数f(x)在区间I内仅有一个极值点,那么在区间I内,这个极值点一定是最值点,且另一个最值点一定在两端点上

§ 2.10 函数作图

渐近线 水平渐近线: $\lim_{x \to +\infty}f(x)=a或\lim_{x \to -\infty}f(x)=a或\lim_{x \to \infty}f(x)=a$ 以上三种情况我们都说他有水平见渐近线a 例:y=arctanx 当x趋于正无穷,y趋近于二分之π,当x趋近于负无穷,y趋近于负二分之派,所以arctantx的水平渐近线有y=二分之派和y=负二分之派

垂直渐近线: $\lim_{x\to c^{+}}f(x)=\infty或\lim_{x\to c^{-}}f(x)=\infty$ $y=\frac{1}{1-x^{2}}$ 当x等于+1或者-1的时候,y是趋近于无穷的,渐近线为x=1和x=-1

斜渐近线斜渐近线也就是无限趋近于一条直线

设曲线f(x)和直线ax+b\\ 若满足\lim_{x\to +\infty}f(x)-ax=b,称其为斜渐近线

若 $x\to +\infty时ax+b为f(x)斜渐近线,则\lim_{x\to +infty}\frac{f(x)}{x}=a$

求斜渐近线的时候,利用 $\lim_{x\to +infty}\frac{f(x)}{x}=a$ 求a,再带入 $\lim_{x\to +\infty}f(x)-ax=b$ 求出b

函数作图: 微分法作图

求定义域
不连续点
和坐标轴相交的情况
奇偶性
周期性
渐近线
一阶导数二阶导数等于零或不存在的点,找极值最值(单调区间)
凹凸性,拐点
补充一些比较特殊的点

第二章：一元函数微分学 ​

§ 2.1 导数的概念 ​

导数定义: ​

可导和连续的关系 ​

§ 2.2 求导法则 ​

函数的和差积商求导法则: ​

反函数的求导法则 ​

复合函数求导法则 ​

双曲函数(了解) ​

§ 2.3 高阶函数 ​

§ 2.4 微分 ​

微分的概念 ​

微分的几何意义 ​

§ 2.5 微分中值定理 ​

费马引理: ​

罗尔定理: ​

拉格朗日中值定理 ​

柯西中值定理 ​

§ 2.6 泰勒定理 ​

§ 2.7 洛必达法则 ​

§ 2.8 函数的凹凸性和单调性 ​

单调性 ​

凹凸性 ​

§ 2.9 极值和最值 ​

极大值与极小值 ​

最值 ​

§ 2.10 函数作图 ​