第四章：向量代数与空间解析几何

§ 4.1 向量及运算

基本概念

向量:既有大小又有方向的量一般用 $\alpha,\beta\cdots表示$ 有时候也在上面加一个箭头, $\vec{\alpha}$ 对于向量而言,只要方向一样,大小一样,就相等,我们并不用关心他们的起点是否相等

向量的长度为向量的模或范数,记作|\overrightarrow{A B}|

模等于1的向量称为单位向量,模等于0的向量叫做0向量

零向量的长度为0,方向为任意方向

向量夹角:两个向量的角度就是夹角,我们规定,夹角大于等于0,小于等于 $\pi$ 当夹角为0或 $\pi$ 的时候,我们称两向量平行或两向量共线

夹角为90度的向量垂直

因为0向量为任意方向,所以0向量和任意向量垂直,0向量也和任意向量平行

如果我们把一堆向量的起点放在一起,终点都在一个平面上,那么就称这一堆向量共面

以上概念高中都接触过,虽然很多,但也容易理解

负向量,就是负的向量,大小不变,方向相反的向量叫做负向量

向量的线性运算

两个向量相加

满足的规律

a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)

两个向量相减

a-b=a+(-b)

a-a=0

向量的数乘

向量乘以一个数相当于方向不变,长度乘以这个数

|ka|=|k||a|

定理:向量除以他的模,得到的是该向量同方向的单位向量

§ 4.2 空间直角坐标系

注意x,y,z轴对应位置

在每一条轴上,我们取一个单位向量分别为i,j,k

我们就有向量(x,y,z) = xi+yj+zk

对于坐标的形式,又有新的运算规则

两个向量相加减就是对应元素相加减

数乘就是数字乘以向量每一个元素

向量数乘后得到的是和原来平行的向量

§ 4.3 方向角和方向余弦

假设我们这里有向量 $\vec{OM} = (x,y,z)$ 我们用 $\frac{x}{|OM|}=\cos{\alpha}$

不难看出, $\alpha$ 其实就是 $\vec{OM}$ 与x轴的夹角

同样,我们有:

\frac{y}{|OM|}=\cos{\beta}\\ \frac{z}{|OM|}=\cos{\gamma}\\ 我们得到了三个cos值\\ 我们把三个余弦值构成一个新的向量:\\ (\cos{\alpha},\cos{\beta},\cos{\gamma})=(\frac{x}{|OM|},\frac{y}{|OM|},\frac{z}{|OM|})=\frac{1}{|OM|}(x,y,z)=\frac{1}{|OM|}\vec{OM}\\ 可以,看到,三个余弦值构成的新向量实际上就是原向量同方向的单位向量\\ 这个向量我们称为方向余项\\ 由于(\cos{\alpha},\cos{\beta},\cos{\gamma})是一个单位向量,所以我们有:\\ \cos^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\beta}+\cos^{2}{\gamma}=1

eg:

M_{1}=(2,2,\sqrt{2})\ \ \ M_{2}=(1,3,0)\ \ \ 求|\overrightarrow{M_{1}M_{2}}|,M_{1}M_{2}方向余弦和方向角\\ 首先我们要很容易就可以得到\overrightarrow{M_{1}M_{2}}=(-1,1,-\sqrt{2})\\ |\overrightarrow{M_{1}M_{2}}|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+(-\sqrt{2})^{2}}=2\\ 我们知道方向余弦就是同方向的单位向量,则易得(\frac{-1}{2},\frac{1}{2},\frac{-\sqrt{2}}{2})\\ 即cos\alpha = \frac{-1}{2},cos\beta = \frac{1}{2},cos\gamma=\frac{-\sqrt{2}}{2}\\ \alpha = \frac{2}{3}\pi\ \ \ \beta =\frac{1}{3}\pi\ \ \ \gamma = \frac{3}{4}\pi

知道两个点的坐标,则这两个点构成的向量为终点减起点的坐标

§ 4.4 向量积和数量积

数量积

数量积也叫点乘,是两个向量之间的运算,从定义来看 $a\cdot b= |a||b|cos\theta$ 如果我们知道两个向量的坐标,我们把他们每一个分量对应相乘再相加即得到数量积

两个向量数量积后得到的结果一定是一个数量

性质:

两个向量数量积为0的充要条件是两向量垂直(0向量和任何向量都垂直)
$a\cdot a = |a|^{2}$

运算规律:

$a\cdot b = b\cdot a$
$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

eg:

证明余弦定理\\ 余弦定理:c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \theta\\ c=a-b\\ |c|^{2}=c\cdot c=(a-b)(a-b)=|a|^{2}-2|a||b|cos\theta+|b|^{2}

向量积

向量积也叫叉乘,两个向量的向量积一定是一个向量

向量积记作: $c=a\times b$

由于向量积得到的结果一定是一个向量,所以就要分别定义他的方向和大小

$|c|=|a| |b|sin\theta$

c的方向满足右手准则,由a自然转向b,拇指确定的方向为c的方向

由此易得,两个向量叉乘后的向量一定同时垂直于这两个向量,这是一个很重要的性质

性质:

两向量平行的充要条件是向量积长度为0

运算规律:

$a\times b=-b\times a$
$(a+b) \times c=a \times c+b\times c$

如果知道两向量的坐标,如何求叉乘呢?

已知a=(x_{1},y_{1},z_{1})\ \ \ b=(x_{2},y_{2},z_{2}) \\a \times b=\left|\begin{array}{ccc} i & j & k \\ x_{1}&y_{1}&z_{1} \\ x_{2}&y_{2}&z_{2} \end{array}\right|\\ 行列式的具体计算参考线性代数第一章

§ 4.5 平面及方程

曲面:满足F(x,y,z)=0就叫曲面注意: 曲面也可以是平面

曲线:曲线是有两个曲面共同构成的,两个曲面的交线就是曲线

平面

法线:在前面微分学里已经接触过法线的概念了,即,与曲线某一点的切线垂直且过切点的线叫做法线

在平面里,和平面垂直的所有线都是平面的法线,同理,和平面垂直的向量叫做法向量

当我们知道了平面所过的一个点和平面的一个法向量后,就可以唯一确定这个平面了通过这种方式确定的平面方程,我们称为点法式方程

点法式方程: $A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0$ $其中(A,B,C)为平面的一个法向量,平面过(x_{0},y_{0},z_{0})这个点$

点法式方程这里简单推一下:\\ 已知平面的法向量n为(A,B,C),平面过M_{0}:(x_{0},y_{0},z_{0})\\ 设平面上任意一点M的坐标为(x,y,z)\\ \overrightarrow{M_{0}M} 一定是平面上的向量,一定和n垂直\\ 即:(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})与(A,B,C)垂直\\ 即点乘为0:A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0

eg:

1.过(2,-3,0),法向量为(1,-2,3)的平面方程\\ 方程为:(x-2)-2(y+3)+3z=0\\ 2.经过M_{1}:(2,-1,4),M_{2}:(-1,3,-2),M_{3}:(0,2,3)的平面方程\\ \overrightarrow{M_{1} M_{2}}=(-3,4 ,-6) ;\overrightarrow{M_{1} M_{3}}=(-2,3 ,-1)\\ \overrightarrow{M_{1} M_{2}}\times \overrightarrow{M_{1} M_{3}}=(14,9,-1)\\ 得到法向量:(14,9,-1)\\ 得到平面方程为:4(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0

不难发现,上述的点法式都可以化简为: $Ax+By+Cz+D=0$ 这种方程叫做平面的一般式,读者需要注意,在一般式里(A,B,C)也是平面的法向量 D=0时,平面过原点 A=0时,平面平行于x轴 B=0时,平面平行于y轴 C=0时,平面平行于z轴 A=B=0时,平面平行于x轴且平面平行于y轴,即平面平行于xoy平面

过x轴和(4,-3,-1)的平面\\ 过x轴,可以推出两个条件,平行于x轴且过原点\\ 写出一般的方程就是By+Cz=0\\ 带入这个点得:-3B-C=0\\ 即:C=-3B\\ 带入原方程:By-3Bz=0\\ 即:y-3z=0,该方程为平面方程

补: $经过(a,0,0)(0,b,0)(0,0,c)的平面方程为:\\ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\\ 这种叫做截距式方程$

§ 4.6 平面夹角

两平面的夹角就是两平面法向量的夹角注:如果夹角大于90度,我们取他的补角

这里比较重要的有一个公式:

两平面的夹角为\theta\\ \cos \theta=\frac{\left|A{1} A_{2}+B_{1} B_{2}+C_{1} C_{2}\right|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}} \sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}

这个公式可以用向量的点乘简单证明,比较基础,不做赘述

补:点到平面的距离: $平面:Ax+By+Cz+D=0\\ 点:(x_{0},y_{0},z_{0})\\ 距离:\left|\frac{Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}\right|$

§ 4.7 空间直线及方程

显然,两个不平行的平面相交的区域一定是一个直线,所以我们有空间直线的第一种方程

\left\{\begin{array}{l} A, x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0 \\ A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0 \end{array}\right.\\ 这种方程叫做直线的一般方程

当我们知道一个和直线平行的向量,又知道直线经过的一个点,我们就可以得到直线的第二种方程

\frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p}\\ 直线经过(x_{0},y_{0},z_{0}),和直线平行的向量为(m,n,p)\\ 这种方程叫做对称式方程,和直线平行的这条向量我们称为直线的方向向量\\ 我们引入参数t,使得t=\frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p}\\ 一定有:\left\{\begin{array}{l} x=x_{0}+m t \\ y=y_{0}+n t \\ z=z_{0}+pt \end{array}\right.\\ 这种方程叫做直线的参数方程

eg:

\left\{\begin{array}{c} x+y+z+1=0 \\ 2 x-y+3 z+4=0 \end{array}\right.转化为对称式\\ 首先任意带入一个点,解出该直线一定过(1,0,-2)\\ 我们知道这两个平面的法向量分别是:(1,1,1)和(2,-1,3)\\ 叉乘后得到直线的方向向量,(1,1,1)\times (2,-1,3)=(4,-1,-3)\\ 解得方程为:\frac{x-1}{4}=\frac{y}{-1}=\frac{z+2}{-3}

最后补充一个关于夹角的知识点: 两直线的夹角就是直线方向向量的夹角

直线和平面的夹角就是直线和他的投影的夹角直线和平面的夹角等于 $\pi$ 减去直线的方向向量和平面法向量的夹角

求解向量夹角的时候要善用向量点乘的两种计算方法建立一个等式

第四章：向量代数与空间解析几何 ​

§ 4.1 向量及运算 ​

基本概念 ​

向量的线性运算 ​

§ 4.2 空间直角坐标系 ​

§ 4.3 方向角和方向余弦 ​

§ 4.4 向量积和数量积 ​

数量积 ​

向量积 ​

§ 4.5 平面及方程 ​

平面 ​

§ 4.6 平面夹角 ​

§ 4.7 空间直线及方程 ​

第四章：向量代数与空间解析几何

§ 4.1 向量及运算

基本概念

向量的线性运算

§ 4.2 空间直角坐标系

§ 4.3 方向角和方向余弦

§ 4.4 向量积和数量积

数量积

向量积

§ 4.5 平面及方程

平面

§ 4.6 平面夹角

§ 4.7 空间直线及方程