第五章：多元函数微分学

§ 5.1 多元函数的基本概念

二元函数:

$z=f(x,y)$

未知数有两个的函数,叫做二元函数

eg:

求z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}的定义域\\ R^{2}-x^{2}-y^{2}\geq 0\\ x^{2}+y^{2}\leq R^{2}\\ 即,定义域为:\{(x,y)|x^{2}+y^{2}\leq R^{2}\}

请读者注意,定义域必须用集合表示,不能用不等式表示在一元函数里,函数定义域是函数图像在x轴的投影在二元函数里,函数定义域是函数图像在xoy平面的投影

多元函数的几何意义是一个曲面方程
常见的方程: $z=ax+by+c$ 平面 $z=\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ 旋转抛物面 $z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 上球面

二元函数的极限

二元函数极限存在的条件是以任何方式逼近极限都存在

这里的题目主要是证明极限不存在

\begin{aligned} f(x, y)=\left\{\begin{aligned} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}} & \ \ \ \ \ x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ \text{0} \ \ \ \ \ \ &\ \ \ \ \ x^{2}+y^{2} =0 \end{aligned}\right. \end{aligned}\\ 证明(x,y)\to (0,0)不存在

这类题型的做法为找两种逼近方式,最后证明两种逼近方式的极限不一样

沿着x轴逼近的时候,f(x,y)一定是0

沿着y=x这条线逼近,此时f(x,y)的极限是 $\frac{1}{2}$

看一个例题:

\lim_{x\to 0 ，y\to 0}\frac{x+y}{x-y}\\ 沿着x轴逼近,此时y的坐标一定是0,极限为1\\ 沿着y轴逼近,此时x轴的坐标一定是0,极限为-1\\ 即,极限不存在

二元函数的连续

二元函数的连续需要满足三个条件

有定义
有极限
极限值=定义值

§ 5.2 偏导数

首先我们回忆一下导数的定义:

f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) = \lim _ { \Delta x \rightarrow 0 } \frac { \Delta y } { \Delta x } = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { f ( x _ { 0 } + \Delta x ) - f ( x _ { 0 } ) } { \Delta x }

以上是一元函数的定义,那么当未知数不止一个的时候,我们如何定义导数呢?

我们有多元函数 $z=f(x,y)$ 一元函数有一个自变量,所以只有一个导数,但是在多元函数里自变量不止一个,所以不难想到,二元函数里的导数有两个

首先介绍一个概念,偏增量,显然,偏增量是一个增量,但是应该和我们说过的增量有点区别定义:

\Delta_{x}Z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)

当y保持不动,z随着x的变化而变化,我们称这种增量叫做对x的偏增量我们又有对y的偏增量的定义

\Delta_{y}Z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)

所以,我们要考虑二元函数的增量,就要考虑他的由于哪一个变量变化产生的增量

偏导数的定义: 在 $x_{0},y_{0}$ 处对x的偏导: $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta_{x}Z}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x , y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x}$ 我们记作:

f_{x}'(x_{0},y_{0}),\frac{\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial x}, \frac{\partial Z}{\partial x}\bigg|_{x=x_{0},y=y_{0}},Z_{x}'\bigg|_{x=x_{0},y=y_{0}}

对y的偏导数同理:

$\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{\Delta_{y}Z}{\Delta y}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0} , y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta y}$

如果我们通过定义去求偏导,显然是非常麻烦的,我们有一个很简单的方法 对x求偏导时,是把y看做常数再对x求导对y求偏导时,是把x看做常数再对y求导

有了以上方法后,我们就把求偏导转化成了求导

1.f(x, y)=e^{x y}+x^{2} y的偏导数\\ f'_{x}(x,y)=ye^{xy}+2xy\\ f'_{y}(x,y)=xe^{xy}+x^{2}\\ 2.f(x, y)=x^{3}+2 x^{2} y-y^{3},求f(x,y)在(1,3)的偏导数\\ f'_{x}(x,y)=3x^{2}+4xy\\ 将(1,3)带入得15\\ f(x,y)在(1,3)对x的偏导数为15\\ f'_{y}(x,y)=2x^{2}-3y^{2}\\ 将(1,3)带入得-25\\ f(x,y)在(1,3)对y的偏导为-25\\

对于偏导的概念,还可以推广到多元函数我们做一个题感受一下

u=\sin{(x+y^{2}-e^{z})}\\ u'_{x}=cos(x+y^{2}-e^{z})\\ u'_{y}=cos(x+y^{2}-e^{z})2y\\ u'_{z}=cos(x+y^{2}-e^{z})e^{z}

下面再介绍一个东西我们知道,一元函数而言,可导必连续但是对于多元函数而言,偏导存在未必连续

那么偏导的几何意义是什么呢? 首先, $z=f(x,y)$ 是一个曲面在 $(x_{0},y_{0})$ 处对x的偏导,我们知道y_{0}是不变的,所以我们沿着 $y=y_{0}$ 做一个平面把 $z=f(x,y)$ 切成两半,横截面一定是一条关于x的曲线,函数为 $z=g(x)$ ,此时这个一元函数在 $x=x_{0}$ 处的切线的斜率,就是对x偏导的几何意义对y偏导同理,沿着 $x=x_{0}$ 切一条横截面出来,横截面为曲线,曲线的斜率就是偏导

以上我们介绍了一阶偏导,同样,我们有二阶偏导,由于二元函数的偏导数有两个,不难想出,二阶偏导数就一定有4个

对x的二阶偏导:\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=Z_{x x}^{\prime \prime}=f_{x x}^{\prime \prime}(x ,y)\\ 对y的二阶偏导:\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=Z_{yy}^{\prime \prime}=f_{yy}^{\prime \prime}(x , y)\\

以上的二阶偏导两次都是对x或对y求的偏导,比较好理解,当然我们也可以先对x再对y求偏导,也可以先对y再对x求偏导

先对x偏导,再对y求偏导:\\ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}=Z_{x y}^{\prime \prime}=f_{x y}^{\prime \prime}(x ,y)\\ 先对y偏导,再对x求偏导:\\ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{\partial^{2} z}{\partial y\partial x}=Z_{yx}^{\prime \prime}=f_{yx}^{\prime \prime}(x ,y)\\

对于这两种偏导,我们给他们一个形象的名字,叫做混合偏导数

这两个混合偏导数长得很像,所以他们一定存在一定的关系 定理:如果二元函数的两个混合偏导数在区域D是连续的,那么他们两个混合偏导数在区域D一定相等

§ 5.3 全微分

在上一节我们介绍了偏导数,偏导数研究的是偏增量,即:因变量的变化是因为其中某一个变量的变化.这种只有一个自变量的变化导致的因变量的变化,我们叫做偏增量

那如果两个自变量都发生变化了?即: $\Delta z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x ,y)$ 这种x和y共同变化导致的因变量的变化,我们叫做全增量

如果我们可以把全增量 $\Delta z$ 写成 $A\Delta x+B\Delta y+o( \rho )$ 其中 $o( \rho )$ 为一个高阶无穷小如果全微分能写成这个形式,那么就叫做可微,并且 $A\Delta x+B\Delta y$ 就叫他的全微分即: $dz=A\Delta x+B\Delta y$ 该定义和一元函数微分的定义很类似我们在一元函数求微分的时候是转化为求导的方式,那么在多元函数求微分的时候,也可以转化为求偏导的形式 定理: $若z=f(x,y)可微,那么偏导一定存在,且dz=f'_{x}(x,y)d x+f'_{y}(x,y)d y$

$dx=\Delta x和dy=\Delta y 证明比较简单,相信读者自己就能搞定了$

定理: $若z=f(x,y)有连续的偏导数,则函数可微,且dz=f'_{x}(x,y)d x+f'_{y}(x,y)d y$

这些关系看起来很乱,我们来整理一下他们的关系 一元函数

可微 \to 可导\\ 可微 \to 连续\\ 可导 \to 可微\\ 可导 \to 连续\\

多元函数

偏导存在且连续 \to 可微\\ 可微 \to 偏导存在\\ 可微 \to 连续\\

没有提到的说明他们没有关系

由上面的定理: $dz=f'_{x}(x,y)d x+f'_{y}(x,y)d y$ \ 我们把 $f'_{x}(x,y)d x$ 记作 $d_{x}z$ 我们把 $f'_{y}(x,y)d y$ 记作 $d_{y}z$ 我们把这两个微分记作偏微分也能看出,一个全微分等于两个偏微分之和

同样对于n元函数也类似,n元函数全微分就是n个偏微分之和

看个例题

1.u=x^{2}+\sin \frac{y}{2}+e^{x y z}\\ du=u'_{x}dx+u'_{y}dy+u'_{z}dz\\ du=(2x+yze^{xyz})dx+(\frac{1}{2}cos\frac{y}{2}+xze^{xyz})dy+xye^{xyz}dz\\ 2.f(x,y)=e^{xy}在(1,2)的全微分\\ f_{x}'(x,y)=ye^{xy},f_{y}'(x,y)=xe^{xy}\\ df(x,y)=ye^{xy}dx+xe^{xy}dy\\ 将(1,2)带入得2e^{2}dx+e^{2}dy

全微分的应用是在近似计算里 $f(x+\Delta x, y+\Delta y) \approx f(x, y)+f_{x}^{\prime} d x+f_{y}^{\prime} d y$

我们估算一下 $(1.04)^{2.02}$ $(1.04)^{2.02}=(1+0.04)^{2+0.02}=(x+\Delta x)^{y+\Delta y}$ 最后结果应该是1.08,希望读者自己计算一下,当然,考试里这里一般不会涉及

§ 5.4 多元复合函数求导

在前面我们说过 $z=f(x,y)$ 分别对x和y的偏导

那如果我们这个函数是 $z=f(u,v),u=\varphi (x,y),v=\psi (x,y)$ 我们该如何求偏导呢?

我们可以看到,z和u和v有关,u和x,y有关,v也和x,y有关

所以当我们要求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的时候,z可以从u这个中间变量和x联系上,也可以用v这个中间变量和x联系上

即: $z=f(u,v),u=\varphi (x,y),v=\psi (x,y)$

$\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$

$\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$

以上两个结论的名字叫做多元符合函数求导的链式法则,基本上就是本节的整个基础

多元复合函数的链式法则实际上是一元复合函数求导链式法则的推广

eg:

z=e^{u}\sin{v},u=xy,v=x+y\\ 求:\frac{\partial z}{\partial x} \\ z和u和v有关,u和xy有关,v和xy有关\\ \frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=sinve^{u}y+cosve^{u}\\ 将u,v带入:sinve^{u}y+cosve^{u}=sin(x+y)e^{xy}y+cos(x+y)e^{xy}\\ 读者可能会发现,我们还可以换个方式做\\ 我们将u和v直接带入\\ z=e^{x y} \sin (x+y)\\ 直接计算\frac{\partial z}{\partial x} 也是可以的,答案肯定是一样的\\

看一些更为神奇的题

z=f(u,v),u=\varphi (x),v=\psi (x)\\ 求\frac{dz}{dx}\\ 注意,这里的z对于x而言实际上是一个一元函数,所以这里是求导, 而不是偏导\\ \frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dx}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dx}\\ 这里的z相对于u和v是一个二元函数,所以是求偏导\\ 而u和v相对于x而言都是一元函数,所以是求导\\ 这里理解起来比较绕,但很重要\\

z=f(x,y),y=g(x)\\ 求\frac{dz}{dx}\\ 由于这里对于x而言,z也是一个一元函数(z可以全部由x表示)\\ 所以这里也是求导,而不是偏导\\ \frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dx}+\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dx}\\ 最后的\frac{dx}{dx}实际上就是1了\\

我们看一个稍微变态一点的题

z=f(xy,x^{2}+y^{2})\\ 求\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\\ 首先,我们用链式法则对x求一阶偏导\\ 令u=xy,v=x^{2}+y^{2}\\ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\\ =f_{u}'y+f_{v}'2x\\ 这里有一点很重要,f_{u}'和f_{v}'仍是关于u和v的函数\\ 换句话说,我们对,f_{v}'和,f_{u}'求偏导时的过程和对z求偏导的过程一样\\ 我们直接让f_{u}'y+f_{v}'2x对x求偏导\\ \left(f_{u u}^{\prime \prime} y+f_{u v}^{\prime \prime} \cdot 2 x\right) y+2 f_{v}^{\prime}+\left(f_{vu}^{\prime \prime} y+f_{u v}^{\prime \prime} \cdot 2 x\right) \cdot 2 x\\ 这类题型难度不大,但计算量很大,需要细心

这里的题型主要就是抽象函数的二阶偏导,也就是最后一道题,计算量很大,所以做题的时候,可以先把 $\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}$ 这四个先写出来,方便后面计算,在后面用到的时候直接代换即可

§ 5.5 隐函数求导

在前面我们说了显函数的求导,什么样的函数叫显函数了? 形如 $y=f(x)$ 的函数就是显函数,换句话说,x和y可以分开的函数就叫显函数

对于一些函数,不能把x和y单独提出来,比方说 $e^{x y}+y^{2}-\sin x y=5$ 就很难把y单独写出来,这种就是隐函数,我们对这种函数求导就是隐函数求导,也就是本节研究的对象,本节不仅要研究一元函数隐函数的求导,也要研究多元隐函数的求导

定理:

一元函数F(x,y)=0的导函数\\ \frac{d y}{d x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}=-\frac{F_{x}^{\prime}}{F_{y}^{\prime}}

我们简单证明一下

一元函数y=f(x)\\ 可以写成如下形式F(x,f(x))=0,我们两边同时对x求导\\ \frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{d y}{d x}=0\\ 移项后得证

该定理是有使用条件的,即,偏导连续且对y的偏导不为0

eg:

xy^{2}+lny=0\\ 求y'\\ \frac{dy}{dx}=-\frac{F_{x}'}{F_{y}'}=-\frac{y^{2}}{2xy-\frac{1}{y}}\\ 换一种方法,我们把等式两边同时求导:\\ (xy^{2}+lny)'=0\\ y^{2}+2xyy'+\frac{1}{y}y'=0\\ 移项后答案肯定是一样的\\

注:隐函数求导后有y是很正常的

对于多元隐函数 $F(x,y,z)=0$ 也有类似的结论

\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}^{\prime}}{F_{z}^{\prime}}\\ \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}^{\prime}}{F_{z}^{\prime}}\\

该定理证明方法和一元的同理,都是利用链导法则来求

e^{-x y}-2 z+e^{z}=0\\ F(x,y,z)=e^{-x y}-2 z+e^{z}\\ \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}^{\prime}}{F_{z}^{\prime}}=-\frac{-y e^{-x y}}{-2+e^{z}}

这种题也可以两边同时对x求偏导(z是关于x的函数)

§ 5.6 二元函数的极值和最值

极值和最值在一元函数微分学已经提到过了极值是在一个小邻域内的最值最值是在整个区域内的最大值或最小值极值可能不唯一,但最值一定唯一

极值: 在某邻域内 $f(x_{0},y_{0})<f(x,y)$ 就是极大值 $f(x_{0},y_{0})<f(x,y)$ 就是极小值

证明 $f(x, y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 在 $(x,y)=(0,0)$ 处取极大值

本题可以简单通过画图得证,但我们这里通过代数证明

f(x, y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}=\sqrt{1-(x^{2}+y^{2})}\\ 该函数定义域为:x^{2}+y^{2}\leq 1\\ 要让\sqrt{1-(x^{2}+y^{2})}最大,就要让1-(x^{2}+y^{2})最大,就要让(x^{2}+y^{2})最小\\ 当且仅当x=y=0时,(x^{2}+y^{2})最小

如果这样去判断极值的话是很麻烦的,这里给必要条件 $(x_{0},y_{0})为极值点,且在这一点偏导存在,那么f_{x}'(x_{0},y_{0})=0且f_{y}'(x_{0},y_{0})=0$

该定理证明非常简单,这里不做说明

如果我们反过来,两个偏导等于0却未必取极值有的极值点的偏导根本就不存在,最典型的就是锥面了

极值存在的充分条件定理:

z=f(x,y)在(x_{0},y_{0})的某个邻域内具有一阶和二阶连续偏导数\\ A=f_{xx}''(x_{0},y_{0}),B=f_{xy}''(x_{0},y_{0}),C=f_{yy}''(x_{0},y_{0})\\ 若B^{2}-AC<0取到极值,若A<0取到极大值,A>0取极小值\\ 若B^{2}-AC>0不是极值点\\ 若B^{2}-AC=0无法判断

解题步骤:

找出一阶偏导均为0的点和一阶偏导不存在的点
求出三个二阶偏导,找出A,B,C
用判别式找出的点进行二次判别

做一道题来帮助理解:

求:f(x, y)=x^{2}+5 y^{2}-6 x+10 y+6的极值\\ f_{x}'(x,y)=2x-6,f_{y}'(x,y)=10y+10\\ f_{x}'(x,y)和f_{y}'(x,y)的定义域均为R,不存在不可导点\\ f_{x}'(x,y)=0,解出x=3\\ f_{y}'(x,y)=0,解出y=-1\\ 得到点(3,-1)满足f_{y}'(x,y)=f_{x}'(x,y)=0\\ A=f_{xx}'(3,-1)=2,B=f_{xy}'(3,-1)=0,C=f_{yy}'(3,-1)=10\\ B^{2}-AC=-20<0,即在(3,-1)取到极值,A=2>0,取到极小值\\ f(3,-1)=-8,故极小值为-8

请读者在做题的时候仔细阅卷,看清楚是让求极值还是求极值点

最值也就是在整个区间上最大的值我们来想想最值一般存在于哪些点

极值点
偏导不存在的点
边界点

请注意,二元函数的边界点讨论起来很复杂,所以出题人非常善良的把这类题都出的很简单,一般而言,在实际问题中不会有在边界上的极值点,也不会有偏导不存在的点,并且,一般来说极值点都唯一

体积为8的有盖长方体的水箱,问怎么选择尺寸使得用料最省\\ 这类题我都不用做,一看就是要做成一个正方体,但是我们假装不会来计算一下\\ 设长宽高分别为x,y,z\\ 得到一个方程:xyz=8\\ 我们要求2xy+2yz+2xz的最小值\\ 设f(x,y)=2xy+2y\frac{8}{xy}+2x\frac{8}{xy}\\ f_{x}'(x,y)=2(y-\frac{8}{x^{2}}),f_{y}'(x,y)=2(x-\frac{8}{y^{2}})\\ 令偏导为0,解出x=y=z=2

注:上题中的方程其实还有0解,但实际问题中不存在0解

下面介绍两个比较重要的概念,条件极值和无条件极值顾名思义,无条件极值没有任何条件,条件极值就是有条件

作为无条件极值,就是无条件极值呗,直接给你一个函数让你求条件极值在给你目标函数的时候还会给你一个约束条件

对于无条件极值,我们都讲过了,求偏导为0的点和不可导点即可为了解决条件极值,我们引入一种算法,叫拉格朗日数乘法

我们以一个例来引入

z=f(x,y)在满足F(x,y)=0的极值\\ 在这里f(x,y)为目标函数,F(x,y)为约束\\ 然后我们引入一个新的变量\lambda \\ 使得L (x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda F(x,y)\\ 之后建立方程组\\ \left\{\begin{matrix} L _{x}'(x,y,\lambda )=0 & & \\ L _{y}'(x,y,\lambda )=0 & & \\ L _{\lambda }'(x,y,\lambda )=0 & & \\ \end{matrix}\right.\\ 接下来对这个方程组求解即可

拉格朗日数乘法对更高元的函数也成立,对更多约束的问题也成立

M=f(x,y,z)在条件g(x,y,z)=0,h(x,y,z)=0的极值\\ L (x,y,z,\lambda _{1},\lambda_{2})=f(x,y,z)+\lambda _{1}g(x,y,z)+\lambda _{2}h(x,y,z)\\ 对这个函数求无条件极值即可\\

我们把上面的题目拿来再做一次

体积为8的有盖长方体的水箱,问怎么选择尺寸使得用料最省\\ 设长宽高为x,y,z\\ S=2(xy+yz+xz),xyz=8\\ xyz=8为约束条件,即xyz-8=0\\ 引入\lambda 使得L(x,y,z, \lambda )=2(xy+yz+xz)+\lambda (xyz-8)\\ \left\{\begin{matrix} L_{x}'(x,z,y, \lambda )=2(y+z)+\lambda yz=0& & \\ L_{y}'(x,z,y, \lambda )=2(x+z)+\lambda xz=0& & \\ L_{z}'(x,z,y, \lambda )=2(y+x)+\lambda xy =0& & \\ L_{\lambda }'(x,z,y, \lambda )=xyz-8=0& & \\ \end{matrix}\right.\\ 解出即可\\

对于上述方程组可能有的同学会觉得很难,其实只需要把带 $\lambda$ 的挪到右边后两个方程想除消掉 $\lambda$

如果有条件的话,请读者用拉格朗日数乘法证明点到平面的距离公式

§ 5.7 多元微分学的几何应用

在本节属于补充内容

本节不讨论空间曲线的切线和法平面,因为我们压根没接触过除直线以外的曲线

我们只讨论空间曲面的切平面和法线

虽然我们没接触过除平面以外的曲面,但考纲非要考,没招

求曲面F(x,y,z)=0在(x_{0},y_{0},z_{0})的切平面\\ 首先明确一点,我们要求切平面,是一个平面\\ 我们有了一个点,平面必过(x_{0},y_{0},z_{0})\\ 只需要一个法向量就可以求出平面的方程\\ 那么法向量怎么求呢?\\ (F_{x}'(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}'(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}'(x_{0},y_{0},z_{0})) 就是他的法向量\\ 换句话说,把F(x,y,z)的三个方向的偏导都求出来,再把(x_{0},y_{0},z_{0})带入,就是法向量\\ 有了法向量,又知道平面一定过(x_{0},y_{0},z_{0}),我们就能用点法式把平面求出来\\ 那么我们还需要掌握法线,也很好理解\\ 过(x_{0},y_{0},z_{0}),垂直于(x_{0},y_{0},z_{0})点切面的直线叫做法线\\ 很容易知道,切平面的法向量就是法线的方向向量,由此,我们也可以得出法线的方程\\

以上是这一节的全部内容,例题:

x^{2}+y^{2}+z^{2}=14在(1,2,3)处的切平面和法线\\ F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-14\\ F_{x}'(x,y,z)=2x,F_{y}'(x,y,z)=2y,F_{z}'(x,y,z)=2z\\ 将(1,2,3)带入前面的方程,得,切平面的法向量为(2,4,6)\\ 由于该平面过(1,2,3)\\ 切平面:2(x-1)+4(y-2)+6(z-3)=0\\ 由于法线的方向向量就是切平面的法向量\\ 法线的方向向量(2,4,6),过(1,2,3)\\ 即,法线为\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{6}

第五章：多元函数微分学 ​

§ 5.1 多元函数的基本概念 ​

二元函数: ​

二元函数的极限 ​

二元函数的连续 ​

§ 5.2 偏导数 ​

§ 5.3 全微分 ​

§ 5.4 多元复合函数求导 ​

§ 5.5 隐函数求导 ​

§ 5.6 二元函数的极值和最值 ​

§ 5.7 多元微分学的几何应用 ​