第六章：多元函数积分学

§ 6.1 二重积分的定义和性质

定义

重积分的定义相当复杂,定义方式也不相同,这里给出两种定义方式

同济七版: QQ截图20210414163638

维基百科： QQ截图20210414163837 QQ截图20210414163858

二重积分的定义是偏难的,做题也不会涉及到,所以这里不展开讲,主要关注二重积分的几何意义和性质

几何意义

函数 $z=f(x,y)$ ,若 $z>0$ 则 $\iint\limits_{D} f(x,y)dxdy$ 就是以 $z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体的体积

QQ截图20210414170511

函数 $z=f(x,y)$ ,若 $z<0$ 则 $\iint\limits_{D} f(x,y)dxdy$ 就是以 $z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体的体积的相反数

性质

\mathop{ \iint }\nolimits_{D}{ \left[ \alpha f{ \left( {x,y} \right) }+ \beta g{ \left( {x,y} \right) } \right] } \text{d} \sigma = \alpha \mathop{ \iint }\nolimits_{D}f{ \left( {x,y} \right) } \text{d} \sigma + \beta \mathop{ \iint }\nolimits_{D}g{ \left( {x,y} \right) } \text{d} \sigma\\

D=\mathop{D}\nolimits_{1}+\mathop{D}\nolimits_{2} \Rightarrow \mathop{ \iint }\nolimits_{D}f{ \left( {x,y} \right) } \text{d} \sigma =\mathop{ \iint }\nolimits_{\mathop{D}\nolimits_{1}}f{ \left( {x,y} \right) } \text{d} \sigma +\mathop{ \iint }\nolimits_{\mathop{D}\nolimits_{2}}f{ \left( {x,y} \right) } \text{d} \sigma

f{ \left( {x,y} \right) } \le g{ \left( {x,y} \right) } \Rightarrow \mathop{ \iint }\nolimits_{D}f{ \left( {x,y} \right) } \text{d} \sigma =\mathop{ \iint }\nolimits_{D}g{ \left( {x,y} \right) } \text{d} \sigma

\left| {\mathop{ \iint }\nolimits_{D}f{ \left( {x,y} \right) } \text{d} \sigma } \right| \le \mathop{ \iint }\nolimits_{D}{ \left| f{ \left( {x,y} \right) } \right| } \text{d} \sigma

m \le f{ \left( {x,y} \right) } \le M \Rightarrow \mathop{ \iint }\nolimits_{D}m \text{d} \sigma \le \mathop{ \iint }\nolimits_{D}f{ \left( {x,y} \right) } \text{d} \sigma \le \mathop{ \iint }\nolimits_{D}M \text{d} \sigma

这些性质可以借助几何意义帮助理解

§ 6.2 二重积分在直角坐标系下的计算

这是很重要的知识点,但不会涉及到公式的具体证明,因为要画很多图,我懒

公式1:\iint_{D}f(x,y)dxdy=\int _{a}^{b}dx\int _{\varphi _{1}(x) }^{\varphi _{2}(x) }f(x,y)dy

以上公式把二重积分转化成了两次积分,两次积分的计算规则如下

\int _{a}^{b}dx\int _{\varphi _{1}(x) }^{\varphi _{2}(x) }f(x,y)dy\\ 先计算\int _{\varphi _{1}(x) }^{\varphi _{2}(x) }f(x,y)dy=A(x)\\ 再计算\int _{a}^{b}A(x)dx

下面来解释公式中的 $a,b,\varphi _{1}(x) ,\varphi _{2}(x)$ 分别是什么东西这四个东西都和这个函数的定义域有关,二元函数的定义域是二元函数图像对xoy平面的投影,这个在前面已经说到过 QQ截图20210414173547

可以看到，在xoy平面上，a和b表示x轴的范围， $\varphi _{1}(x) ,\varphi _{2}(x)$ 分别表示在(a,b)内y的函数曲线，并且 $\varphi _{1}(x) <\varphi _{2}(x)$

这个公式还有一个关于y轴的 QQ截图20210414173611

公式2:\iint_{D}f(x,y)dxdy=\int _{c}^{d}dy\int _{\psi _{1}(y) }^{\psi _{2}(y) }f(x,y)dx

在这个公式中，a,b就是y的取值范围，而 $\varphi _{1}(y) \varphi _{2}(y)$ 也就是在 $y\in (a,b)的时候x轴曲线的函数了$

可能很难理解，但只要多做几个题应该是很简单的

QQ截图20210414174736 QQ截图20210414174748

题中涉及到了两个陌生概念，交换积分次序和积分不可用初等函数表示，这里一一说明

有一些积分算出来不能用初等函数表示，我们称为超越积分，这些积分我们是做不出来的，所以遇到了也要避开，这里列出常见的超越积分

$\int e^{a x^{2}} d x(a \neq 0)$
$\int \frac{\sin x}{x} d x$
$\int \frac{\cos x}{x} d x$
$\int \sin x^{2} d x$
$\int \cos x^{2} d x$
$\int \frac{x^{n}}{\ln x} d x(n \neq-1)$
$\int \frac{\ln x}{x+a} d x(a \neq 0)$
$\int(\sin x)^{z} d x$ (z不是整数)
$\int \frac{d x}{\sqrt{x^{4}+a}}(a \neq 0)$
$\int \sqrt{1+k(\sin x)^{2}} d x(k \neq 0, k \neq-1)$
$\int \frac{d x}{\sqrt{1+k(\sin x)^{2}}}(k \neq 0, k \neq-1)$

做题中遇到这种积分也不用去做了，放心，你是做不出来的

接下来还有一个概念，交换积分次序，这也是考点之一我们最先给出了俩公式

公式1:\iint_{D}f(x,y)dxdy=\int _{a}^{b}dx\int _{\varphi _{1}(x) }^{\varphi _{2}(x) }f(x,y)dy\\ 公式2:\iint_{D}f(x,y)dxdy=\int _{c}^{d}dy\int _{\psi _{1}(y) }^{\psi _{2}(y) }f(x,y)dx\\ 这两个等式左边都是一样的,所以我们有\\ \int _{a}^{b}dx\int _{\varphi _{1}(x) }^{\varphi _{2}(x) }f(x,y)dy=\int _{c}^{d}dy\int _{\psi _{1}(y) }^{\psi _{2}(y) }f(x,y)dx\\

用以上两种两次积分都可以求出二重积分的值，只不过是形式不同而已，在这两种形式之间的转换，就叫交换积分次序

QQ截图20210414180546

QQ截图20210414180554

§ 6.3 二重积分在极坐标下的计算

首先,极坐标是高中选修知识,考虑到读者水平不一,这里也介绍一下极坐标

极坐标的概念

首先,极坐标和直角坐标的作用是一样的,都是用来表示一个点的,直角坐标系里,是用横坐标和纵坐标来表示一个点,极坐标里是用极角和极径来表示一个点的

QQ截图20210414192436

在这个图像中, $\theta$ 为极角, $\rho$ 为极径, $O$ 为极点, $Ox$ 这条轴为极轴

在极坐标中,我们通过极角和极径构成一个极坐标 $(\rho ,\theta)$ ,就可以表示这个平面上所有的点并且我们规定, $\rho \geq 0,\theta\in [0,2\pi)$

显然极点的极坐标为 $(0,a),a任取$

极坐标和直角坐标转换

这里的公式相当简单,很好证明,但是要画图,我懒,一些公式就不证明了

直角坐标转换为极坐标 直角坐标 $(x,y)$ 如何转化为极坐标呢? $(\sqrt{x^{2}+y^{2}},\arctan{\frac{y}{x}})$

极坐标转换为直角坐标 极坐标 $(\rho ,\theta)$ 如何转换为直角坐标呢? $(\rho cos\theta , \rho sin\theta)$

直角坐标方程转换为极坐标方程

$f(x,y)=0$ 如何转换为极坐标呢? 首先给几个公式

$x=\rho cos\theta$
$y=\rho sin\theta$
$\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}$

有了这个公式我们就可以把直角坐标方程转换为极坐标方程了

x^{2}+y^{2}=1\ 转化为极坐标方程\\ 因为\rho ^{2}=x^{2}+y^{2},所以\rho ^{2}=1\\ 即\rho=1就是该方程的极坐标方程\\ 从几何意义理解,也不难理解\\ 这是一个以原点为圆心的圆\\ 半径就是极径了,可以取任意角度\\

y=\sqrt{1-x^{2}},转化为极坐标方程\\ 首先在这个函数里,y\geq 0,即\rho sin\theta\geq 0\\ 由于\rho >0,所以我们有\theta\in [0,\pi]\\ 之后两边平方再移项就和上一个例题一样了\\ 即\rho = 1(\theta \in [0,\pi])

在极坐标方程里,是要用 $\theta$ 表示 $\rho$ ,所以, $\theta$ 的取值范围就是极坐标方程的取值范围

y=\sqrt{1-(x-1)^{2}}转换为极坐标方程\\ 我们有1-(x-1)^{2}\geq 0\\ 即(x-1)^{2}\leq 1\\ 得出x\in [0,2]\\ 即:\rho cos\theta\in [0,2]>0\\ \theta\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\\ 又因为y\geq 0\\ \rho sin\theta\geq 0\\ \theta \in [0,\pi]\\ 取 [0,\pi]和 [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]的交集\\ 得出\theta \in [0,\frac{\pi}{2}]\\ 之后化简原式\\ y^{2}+x^{2}-2x=0\\ \rho ^{2}-2\rho cos\theta =0\\ \rho = 2cos\theta(\theta \in[0,\frac{\pi}{2}] )\\

不难发现,求定义域是一个相对麻烦的地方,请千万不要忘记求定义域

再做一个题

x^{2}+(y-1)^{2}=1\\ 原式并没有定义域的限制,所以我们直接求\\ x^{2}+y^{2}-2y=0\\ \rho ^{2}=2\rho sin\theta\\ \rho = 2 sin\theta\\ 由于\rho \geq 0,即sin\theta \geq 0,\theta \in [0,\pi]\\ 故方程为\rho = 2 sin\theta(\theta \in [0,\pi])\\

极坐标系下的二重积分

\iint_{D}f(x,y)dxdy\\ =\iint_{D}f(rcos\theta,rsin\theta)rdrd\theta\\ =\int_{\alpha}^{\beta}d\theta \int _{r_{1}(\theta)}^{r_{2}(\theta)}f(rcos\theta,rsin\theta)rdr\\

如果上面的函数看不懂,我们简述一下做题步骤

$\iint_{D}f(x,y)dxdy$ 计算
将f(x,y)化为极坐标
根据定义域D,求出 $\theta和\rho$ 的取值范围
$\theta$ 的取值范围为 $(\alpha,\beta)$
$\rho$ 的取值范围为 $(r_{1},r_{2})$
原式可以化为 $\int_{\alpha}^{\beta}d\theta \int _{r_{1}(\theta)}^{r_{2}(\theta)}f(rcos\theta,rsin\theta)rdr$

极坐标下的二重积分一般用来解决定义域D和积分函数f(x,y)中出现了 $x^{2}+y^{2}$ 的题

\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} d x d y \quad D: x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}\\ 将D画出来是一个圆,可得\theta\in (0,2\pi),\rho \in [0,a]\\ 即化为\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{a}e^{-r ^{2}}rdr\\ 最后计算即可

§ 6.4 对称性在多元函数积分学中的应用

基本概念

若二元函数 $f (x ,y)$ 满足 $f (-x ,y)=f (x ,y)$ 则称函数 $f (x ,y)$ 关于变量 x 为偶函数；若满足 $f (-x ,y)=-f (x ,y)$ 则关于 x 为奇函数。同理: 若二元函数 $f (x ,y)$ 满足 $f (x ,-y)=f (x ,y)$ 则称函数 $f (x ,y)$ 关于变量 y为偶函数；若满足 $f (x ,-y)=-f (x ,y)$ 则关于 y为奇函数。

若三元函数 $f (x ,y,z)$ 满足 $f (-x ,y,z)=f (x ,y,z)$ 则称函数 $f (x ,y,z)$ 关于变量 x为偶函数；若满足 $f (-x ,y,z)=-f (x ,y,z)$ 则关于 x为奇函数。

结论

QQ截图20210414221815

§ 6.5 对坐标的曲线积分

曲线积分有两种,对弧长的和对坐标的,曲线积分的定义很复杂，曲线积分的知识放在这里学的话，对于一些读者而言很难理解，分值又不高，顶多就一个选择一个填空，所以不要死磕！

我们不介绍对弧长的曲线积分，这里只介绍对坐标的曲线积分

对坐标的曲线积分的计算

参数方程:\begin{cases} x=\varphi (t)\\ y=\psi (t) \end{cases}\\ 起点A \to 终点B\\ t:\alpha \to \beta\\ \int_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\\ =\int _{\alpha}^{\beta}[P(\varphi (t),\psi (t))\varphi '(t)+Q(\varphi (t),\psi (t))\psi '(t)]dt\\

若题目中给出的路径不是参数方程的形式,需要将他转化为参数方程的形式

虽然读者不知道曲线积分是什么东西,但只要知道这个公式就可以做题了,题目也就只会这么出，简单而言，把曲线换成参数方程，把参数全部带入即可

例:

\int _{L} xydx,沿着y^{2}=x的(1,-1)\to (1,1)的曲线积分\\ 将路径写成参数方程:\\ \begin{cases} x=t^{2}\\ y=t \end{cases}\\ t:-1\to 1\\ \int _{-1}^{1} t^{2} \cdot t \cdot 2t\ dt=4\int _{0}^{1}t^{4}dt=\frac{4}{5}

这里有一个结论:

A\to C的曲线积分=A\to B的曲线积分+B\to C的曲线积分

§ 6.6 格林公式

本节内容也不好理解,所以也只抓重点

正向边界

正向边界,顾名思义,就是正方向的边界那什么方向是正方向呢? QQ截图20210414230647

可以看到区域D有两个边界,沿着边界走,如果区域在左手边,那就是正向边界,如果区域在右手边,就是逆向边界

格林公式

闭区域D由光滑的曲线L围成,P(x,y),Q(x,y)在D上有一阶连续偏导数\\ 则:\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y=\oint_{L} P d x+Q d y \ \ (L为D的正向边界)\\

以上就是格林公式右边的那个 $\oint$ 指的是封闭曲线积分,而D必须是封闭的曲线积分

封闭曲线积分,也是曲线积分,只不过是起点和终点连到一起了而已,所以我们在计算封闭曲线积分的时候也可以用上一节最后那一点知识把曲线积分一节一节加起来

在格林公式里,如果L为逆向边界的,只需要取一个负号

积分与路径无关

从格林公式里我们得知，当封闭曲线满足 $\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)=0$ 显然不管路径如何，曲线积分一定是恒等于0的

在非封闭的曲线积分中，如果 $\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)=0$ 我们也有个结论，那就是曲线积分和路径无关，也就是说这个曲线积分的值和路径已经没有关系了，可以取一条比较好做的路径来求

如果读者足够理解对坐标的曲线积分，那应该很好证明，如果读者对这一点理解有困难，那也继续往后看吧，这里的知识点属于直接套公式的这种

如果理解硬要死磕，希望去做题看解析，因为这类知识点在考试题目中非常固定，规律性很强

第六章：多元函数积分学 ​

§ 6.1 二重积分的定义和性质 ​

定义 ​

几何意义 ​

性质 ​

§ 6.2 二重积分在直角坐标系下的计算 ​

§ 6.3 二重积分在极坐标下的计算 ​

极坐标的概念 ​

极坐标和直角坐标转换 ​

直角坐标方程转换为极坐标方程 ​

极坐标系下的二重积分 ​

§ 6.4 对称性在多元函数积分学中的应用 ​

基本概念 ​

结论 ​

§ 6.5 对坐标的曲线积分 ​

§ 6.6 格林公式 ​

正向边界 ​

格林公式 ​

积分与路径无关 ​