第三章：一元函数积分学

§ 3.1 不定积分

在前面的章节,我们把微分运算转化为了一个求导运算,即: $dy=y'dx$ ,本节介绍的不定积分实际上就是求导的逆运算

$若F'(x)=f(x),我们称f(x)为F(x)的反函数,F(x)为f(x)的一个原函数$ 读者需要注意上面这个概念,F(x)只是f(x)的一个原函数,说明f(x)的原函数可能并不唯一,但导函数一定是唯一的,f(x)的全体原函数应该是F(x)+C 所以,知道原函数,求导函数,一定是唯一的,知道导函数,求原函数,有无穷多个

不定积分

定义: $f(x)的全体原函数,称为f(x)的不定积分,记作\int f(x)\mathrm{d}x ,x叫做积分变量,f(x)叫做被积函数$

$若F'(x)=f(x),则\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$

不定积分一定要加常数c

eg:

1.\int x^{2}\mathrm{d}x=\frac{1}{3}x^{3}+C\\ 2.\int x^{n}\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\\ 3.\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\arcsin{x}+C\\ 4.\int \frac{1}{x} dx=\ln{|x|}+C\\ 5.过点(2,5),且在x点的切线斜率为2x,求原函数\\ 设原函数f(x),由于切线斜率为2x,即f'(x)=2x\\ 两边同时取不定积分得:\int f(x)\mathrm{d}x=\int 2x\mathrm{d}x\\ 即: f(x)= x^{2}+C\\ 因为f(x)过点(2,5),带入解出C=1,即f(x)=x^{2}+1\\

注1: $第四题(\ln{-x})'=(\ln{x})'=\frac{1}{x},故必须写成\ln{|x|}$ 注2:第五题涉及到导函数的几何意义,这种理解类题型很重要,要重点掌握

不定积分的性质

$[\int f(x)dx]'=f(x)$
$\int f'(x)dx=f(x)+C$
$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx\ \ \ (k为积分变量的无关量)$
$\int f(x)+g(x)dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\ \ \ (该结论可以推广到有限项)$

积分公式

$\int 0dx =0+C=C$
$\int k dx=kx+C$
$\int x^{a}dx=(a+1)x^{a+1}+C\ \ \ (a\neq -1)$
$\int x^{-1}dx=\ln{|x|}+C$
$\int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{\ln{a}}+C$
$\int e^{x} d x=e^{x}+c$
$\int sinx d x=-cosx+c$
$\int cosx d x=sinx+c$
$\int sec^{2}x d x=tanx+c$
$\int csc^{2}x d x=-cotx+c$
$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\arcsin{x}+C$
$\int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\arctan{x}+C$
$\int tanxsecx d x=secx+C$
$\int cotcscx d x=-cscx+C$

1.\int\left(2 x^{2}-3 x+5\right) d x=\int 2 x^{2} d x-\int 3 x d x+\int 5 d x=\frac{2}{3} x-\frac{3}{2} x^{2}+5 x+c\\ 2.\int \frac{x^{4}}{1+x^{2}} d x=\int \frac{x^{4}-1+1}{1+x^{2}} d x=\int \frac{(x^{2}-1)(x^{2}+1)}{1+x^{2}}+ \frac{1}{1+x^{2}}d x=\int (x^{2}-1)+ \frac{1}{1+x^{2}}d x=\frac{1}{3} x^{3}-x+\arctan x+c\\ 3.\int \cos ^{2} \frac{x}{2} d x=\int \frac{1+\cos x}{2} d x=\int \frac{1}{2} d x+\frac{1}{2} \int \cos x d x\\ 4.\int \tan ^{2} x d x=\int\left(\sec ^{2} x-1\right) d x=\int \sec ^{2} x d x-\int 1 d x=tanx-x+c

§ 3.2 第一类换元法

上一节的所有微分都对x的微分,例: $\int cosxdx=sinx+c$ ,这里是cosx对x的微分

实际上,对f(x)也是成立的,即 $\int cosf(x)df(x)=sinf(x)+c$

为什么呢,我们来说一下

根据微分公式\\ df(x)=f'(x)dx\\ 同时取不定积分\\ \int df(x)=\int f'(x)dx=f(x)+c\\ 我们就有了这个式子:\int df(x)=f(x)+c\\ 已经可以直观的看到了,积分符号\int和微分符号d互为逆运算\\ df(g(x))=f'(g(x)))g'(x)dx\\ g'(x)dx=dg(x)\\ 故df(g(x)) = f'(g(x))dg(x)\\ 两边同时取积分\\ \int df(g(x))=\int f'(g(x))dg(x)=f(g(x))+c\\ 所以上一节的积分公式中所有对\int f(x)dx=u(x)+c都可以换成\int f(g(x))dg(x)=u(g(x))+c

其实这就是第一类换元法了,我们做个题: eg:

\int 2xcosx^{2}dx=\int cosx^{2}dx^{2}=sinx^{2}+c\ \ 注:2xdx=dx^{2}

第一类换元法适用于一个简单函数乘以一个复合函数,把简单函数拿到积分变量上,然后凑积分积分公式,所以第一类换元法也叫凑微分法

我们来看一堆例题:

1.\int 3cos3xdx=\int cos3xd3x=sin3x+c\\ 2.\int \frac{1}{3x+2}dx=\frac{1}{3}\int \frac{1}{3x+2}d3x+2=\frac{1}{3}\ln{|3x+2|}+c\\ 从本题,我们得到了两个重要的公式:\\ \int f(x)dkg(x)=\int kf(x)dg(x)=k\int f(x)dg(x)\ \ \ \int f(x)dg(x)=\int f(x)d(g(x)+k) \\ 从本题也可以看出,如果被积函数里存在积分变量的线性运算,我们可以通过上面的两个公式直接凑出来\\ 3.\int x\sqrt{1-x^{2}}dx=\frac{1}{2}\int \sqrt{1-x^{2}}dx^{2}=-\frac{1}{2}\int \sqrt{1-x^{2}}d(-x^{2}+1)=-\frac{1}{3}(1-x^{2})^{\frac{3}{2}}+c\\ 4.\int xe^{x^{2}}dx=\frac{1}{2}\int e^{x^{2}}dx^{2}=\frac{1}{2}e^{x^{2}}+c\\ 5.\int sinxcosxdx=\int sinxdsinx=\frac{1}{2}sin^{2}x+c\\ 6.\int \frac{dx}{x(1+\ln{x})}=\int \frac{1}{1+\ln{x}}d(\ln{x}+1)=\ln{|\ln{x}+1|}+c\\ 根据积分公式\int \frac{1}{x}dx=\ln{|x|}+c,\\但这里凑微分的时候并没有加绝对值,因为被积函数里有了一个lnx,使得x一定大于0,所以就不用加了\\但最后一步我们必须保证lnx+1大于0,被积函数无法保证lnx+1大于0,所以这里就要加绝对值\\ 7.\int e^{x}\sqrt{1-e^{x}}dx=-\int \sqrt{1-e^{x}}d(1-e^{x})=-\frac{2}{3}(1-e^{x})^{\frac{3}{2}}+c\\ 8.\int \frac{tan^{3}x}{cos^{2}x}dx=\int tan^{3}xsec^{2}xdx=\int tan^{3}dtanx=\frac{1}{4}tan^{4}x+c\\ 9.\int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a^{2}}\int \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^{2}}dx=\frac{1}{a}\int \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^{2}}d(\frac{x}{a})=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+c\\ 本题可以当做公式记忆\\ 10.\int \frac{1}{x^{2}-a^{2}}dx=\int\frac{1}{(x+a)(x-a)}dx=-\frac{1}{2a}\int\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x-a}dx\\ =-\frac{1}{2a}[\int \frac{1}{x+a}d(x+a)-\int \frac{1}{x-a}d(x-a)]=-\frac{1}{2a}\ln{\frac{|a+x|}{|a-x|}+c}\\ 11.\int tanxdx=\int \frac{sinx}{cosx}dx=-\int \frac{1}{cosx}dcosx=-\ln{|cosx|}+c\\ 12.\int secxdx=\int\frac{1}{cosx}dx=\int \frac{cosx}{cos^{2}x}dx=\int \frac{1}{1-sin^{2}x}dsinx=\int \frac{1}{(1+sinx)(1-sinx)}dsinx\\ =\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+sinx}+\frac{1}{1-sinx}dsinx=\frac{1}{2}[\ln{|sinx+1|}-\ln{|sin x-1|]}+c=\frac{1}{2}ln\frac{|sinx+1|}{|sinx-1|}+c\\ 13.\int sin^{3}xdx=-\int sin^{2}xdcosx=\int cos^{2}x-1dcosx=\frac{1}{3}cos^{3}x-cosx+c\\ 14.\int cos^{2}xdx=\frac{1}{2}\int \frac{1+cos2x}{2}d2x=\frac{1}{4}[2x+sin2x]+c=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}sin2x+c\\ 15.\int sin^{2}xcos^{3}xdx=\int sin^{2}xcos^{2}xdsinx=\int sin^{2}x(1-sin^{2}x)dsinx=\frac{1}{3}sin^{3}x-\frac{1}{5}sin^{5}x+c\\ 16.\int sinxcos3xdx=\int \frac{sin(4x)-sin(2x)}{2}dx=\frac{1}{2}[\frac{1}{4}\int sin4xd4x-\frac{1}{2}\int sin2xd2x]=\frac{1}{4}cos2x-\frac{1}{8}cos4x+c

§ 3.3 第二类换元法

我们这里先给出第二类换元法的公式: $\int f(x)dx \ \ \ 令x=g(t)\ \ \ \ \ \int f(x)dx=\int f(g(t))g'(t)dt$ 第二类换元法思路很简单,也很好理解,做个例题就能理解了

\int \frac{dx}{x\sqrt{2x-3}}\\ 拿到这种题后,我们考虑一下应该用哪种方法\\ 简单口算之后,不难发现这个题用第一类换元法似乎是做不出来的\\ 我们就可以考虑一下第二类换元法\\ 我们令\sqrt{2x-3}=t\\ x=\frac{t^{2}+3}{2}\\ dx=d\frac{t^{2}+3}{2}=tdt\\ 即原式\int \frac{dx}{x\sqrt{2x-3}}=\int \frac{2}{t^{2}+3}dt=2\int \frac{1}{t^{2}+(\sqrt{3})^{2}}dt\\ =2\frac{\sqrt{3}}{3}arctan\frac{\sqrt{3}t}{3}+c\\ 此时不要忘了要把t换成x,即\sqrt{2x-3}=t\\ 换完之后得\frac{2\sqrt{3}}{3}arctan\frac{\sqrt{6x-9}}{3}+c

看完这道题后基本上应该能理解第二换元积分是个什么东西了,做几个题加深印象

1.\int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}\\ 令t = \sqrt[6]{x}=x^{\frac{1}{6}}\\ x=t^{6},\sqrt{x}=t^{3},\sqrt[3]{x}=t^{2},dx=6t^{5}dt\\ 原式=\int \frac{6t^{5}}{t^{3}+t^{2}}dt=6\int \frac{t^{3}+1-1}{t+1}dt\\ =6\int \frac{(t+1)(t^{2}-t+1)}{t+1}-\frac{1}{t+1}dt\\ =6\int t^{2}-t+1-\frac{1}{t+1}dt\\ =2t^{3}-3t^{2}+6t-6\ln{|t+1|}+c\\ =2x^{\frac{1}{2}}-3x^{\frac{1}{3}}+6x^{\frac{1}{6}}-6\ln{|x^{\frac{1}{6}}+1|}+c\\ 2.\int \sqrt{a^{2}-x^{2}}dx\ \ \ (a>0)\\ 原式=a\int \sqrt{1-(\frac{x}{a})^{2}}dx\\ 令\frac{x}{a}=sint,x=asint\\ \sqrt{1-(\frac{x}{a})^{2}}=cost,dx=acostdt\\ 原式=a^{2}\int cos^{2}tdt=\frac{a^{2}}{4}\int( 1+cos2t)d2t\\ =a^{2}(\frac{t}{2}+\frac{sin2t}{4})+c\\ 将t换为x得:\frac{a^{2}}{2}\arcsin{\frac{x}{a}}+\frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}+c\\ 3.\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}\ \ \ (a>0)\\ 原式=\frac{1}{a}\int \frac{dx}{\sqrt{1+(\frac{x}{a})^{2}}}\\ 令\frac{x}{a}=tant,x=atant\\ \sqrt{1+(\frac{x}{a})^{2}}=sect,dx=asec^{2}tdt\\ 原式=\int sect dt=\frac{1}{2}ln\frac{|sint+1|}{|sint-1|}+c\\ 最后带入即可,注:由于C的不确定性,不定积分答案并不唯一\\ 4.\int \frac{x^{3}}{(x-1)^{100}}dx\\ 令x-1=t,x=t+1\\ 原式=\int \frac{(t+1)^{3}}{t^{100}}dt=\int \frac{t^{3}+3t^{2}+3t+1}{t^{100}}dt\\ 拆开后求解即可

以上几个例题对应了第二类换元法考察的几种类型,第二类换元法大多数情况下是用来解决带根号积分的,用换元的方式干掉根号后就可以相对简单的求解,在少数情况下也可以用来解决一些奇奇怪怪的题,例如第4题,当遇到一个积分死活都求不出来时,可以尝试一下

关于根式如何设t,这里说明一下

如果根号下是一个关于x的线性方程,直接令整个根式为t
如果根号下是一个形如上方2,3题那种二次的,可以巧用三角函数公式进行化简
如果是一个形如上方1题那种,读者记住方法即可,第二类换元法也就只有这几种题型

§ 3.4 分部积分法

分部积分法是一种非常重要的方法!

已知:[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\ f'(x)g(x)=[f(x)g(x)]'-f(x)g'(x)\\ 等式两边同时取x的不定积分\\ \int f'(x)g(x)dx=\int [f(x)g(x)]'dx-\int f(x)g'(x)dx\\ 化简后得到:\int g(x)df(x)= f(x)g(x)-\int f(x)dg(x)\\ 这就是分部积分的公式了\\

分部积分公式可以直接交换积分变量和被积函数,这是一个非常好的性质,要灵活掌握,在利用分部积分求积分的时候,一般用于两个简单函数相乘的情况

换句话说,形如 $\int f(x)g(x)dx$ 这类积分,如果不能用第一类换元法做出来,那么一般就用分部积分法来做,在分部积分之前,需要先把一个函数挪到积分变量上去,顺序为指三幂对反,权重由高向低,即,有指数函数,就挪指数函数,没有指数函数,但是有三角函数,就挪三角函数,以此类推.

看一个例题:

\int xsinx dx =-\int xdcosx\\ 根据分部积分公式:\int xdcosx=xcosx -\int cosxdx=xcosx-sinx+c\\ 即\int xsinx dx =-\int xdcosx=-(xcosx-sinx)+c=sinx-xcosx+c\\

如果读者把x挪到积分变量上去,只会更加复杂,挪的时候一定要满足指三幂对反的顺序,由于在指三幂对反里,三角函数在幂函数前面,所以先挪三角函数

1.\int xe^{x}dx=\int xde^{x}=xe^{x}-\int e^{x}dx=xe^{x}-e^{x}+c\\ 由于指三幂对反里,指数函数在幂函数前面,所以这里也是先把指数函数拿到积分变量上\\ 2.\int xlnxdx = \frac{1}{2}\int lnxdx^{2}=\frac{1}{2}(x^{2}lnx-\int x^{2}\frac{1}{x}dx)\\ =\frac{1}{2}(x^{2}lnx-\frac{1}{2}x^{2})\\ 3.\int x arctanxdx=\frac{1}{2}\int arctanxdx^{2}\\ =\frac{1}{2}(x^{2}arctanx-\int\frac{ x^{2}+1-1}{1+x^{2}}dx)\\ =\frac{1}{2}(x^{2}arctanx-x+\int\frac{ 1}{1+x^{2}}dx)\\ =\frac{1}{2}(x^{2}arctanx-x+arctanx)+c\\ 4.\int lnxdx=xlnx-\int x\frac{1}{x}dx=xlnx-x+c\\ 5.\int e^{x}cosxdx =\int cosxde^{x}\\ =e^{x}cosx+\int e^{x}sinxdx\\ =e^{x}cosx+\int sinxde^{x}\\ =e^{x}cosx+e^{x}sinx-\int cosxe^{x}dx\\ 得到等式:\int e^{x}cosxdx =e^{x}cosx+e^{x}sinx-\int cosxe^{x}dx\\ 解出:\int e^{x}cosxdx=\frac{1}{2}e^{x}cosx+e^{x}sinx+c\\

本节主要关注一下第5题,以及分部积分的积分顺序,即:指三幂对反

这里补充一个分部积分容易犯的错误

\int \frac{1}{x}dx=x\cdot \frac{1}{x}-\int xd\frac{1}{x}=1+\int \frac{1}{x}dx\\ 显然,我们这里是用分部积分得到了\int \frac{1}{x}dx=1+\int \frac{1}{x}dx\\ 移项后就是1=0,明显是错误的,这个时候读者就需要查看一下分部积分的使用条件了

使得 $\int g(x)df(x)= f(x)g(x)-\int f(x)dg(x)$ 成立的条件为: $f(x)和g(x)$ 的导函数连续且 $\int f(x)g'(x)dx$ 存在

显然, $\frac{1}{x}$ 导函数在x=0处并不连续

§ 3.5 有理函数的积分

有理函数的积分,也就是积分函数为多项式比多项式的情况

当该分式为有理假分式时,我们需要将他转化为有理真分式,可以使用多项式除法

有理真分式:分子的最高次小于分母最高次有理假分式:分子的最高次大于等于分子的最高次

先看一种简单的情况

\int \frac{1}{ax^{2}+bx+c}dx\\ 如果ax^{2}+bx+c有两个重根,即b^{2}-4ac=0\\ 则这个积分一定能化为\int \frac{1}{(x-d)^{2}}d(x+d)\\ d为方程的重根,通过幂函数的积分公式很容易求出该积分\\ 如果ax^{2}+bx+c有两个不同的实根,即b^{2}-4ac>0\\ 那么我们一定可以把这个积分写成\int \frac{1}{(x-x_{1})(x-x_{2})}dx\\ 这个式子一定可以通过裂项裂开,这里不给证明,请读者自己思考\\ 裂项后这个积分就会变得很简单了\\ 如果ax^{2}+bx+c没有实数根,我们对分母配方,一定化简为\\ \int \frac{1}{(x+d)^{2}+(\sqrt{p})^{2}}d(x+d)\\ 该积分的值可以参考3.1节第9题\\

接下来就稍微难一点了

\int \frac{nx+m}{ax^{2}+bx+c}dx\\ 分子为一次函数,分母为二次函数\\ 如果ax^{2}+bx+c有两个重根,即b^{2}-4ac=0\\ 假设重根为u,我们有:\\ \int \frac{nx+m}{ax^{2}+bx+c}dx=n\int \frac{x-u+\frac{m}{n}+u}{(x-u)^{2}}dx\\ =n\int\frac{1}{x-u}dx+(\frac{m}{n}+u)\int\frac{1}{(x-u)^{2}}dx\\ 其中 \int\frac{1}{x-u}dx和\int\frac{1}{(x-u)^{2}}dx读者应该是会求的\\ 如果ax^{2}+bx+c有两个不同的实根,即b^{2}-4ac>0\\ 设两个实根分别为u和v 这个积分可以写成\int \frac{nx+m}{(x-v)(x-u)}dx\\ 这个分式也一定可以裂项裂开为\frac{A}{(x-v)}+\frac{B}{(x-u)}\\ 为什么一定可以裂开,可以用克莱姆法则去证明,留给读者自己思考\\ 裂项裂开后也就没有难度了\\ 如果分子的二次多项式无实根,即b^{2}-4ac<0\\ 就有点难度了\\ 我们用一个例子来说明:\\ \int \frac{a x+b}{x^{2}+p x+q} d x \\ 若x^{2}+p x+q无实根\\ \\=\frac{a}{2} \int \frac{2 x+\frac{2 b}{a}}{x^{2}+p x+q} d x \\ \\=\frac{a}{2} \int \frac{2 x+p+\frac{2 b}{a}-p}{x^{2}+p x+q} d x \\ \\=\frac{a}{2} \int \frac{d\left(x^{2}+p x+q\right)}{x^{2}+p x+q}+\left(b-\frac{a p}{2}\right) \int \frac{1}{x^{2}+p x+q} d x \\ \\=\frac{a}{2} \ln \left|x^{2}+p x+q\right|+\left(b-\frac{a p}{2}\right) \int \frac{1}{x^{2}+p x+q} d x\\ \int \frac{1}{x^{2}+p x+q} d x这类积分咱们已经讲过了

其实还有更复杂的情况,其本质还是用待定系数法进行裂项,这里也不多说了,只给一个例题求 $\int \frac{x+2}{(2 x+1)\left(x^{2}+x+1\right)} \mathrm{d} x .$ 解 $\quad$ 设 $\frac{x+2}{(2 x+1)\left(x^{2}+x+1\right)}=\frac{A}{2 x+1}+\frac{B x+D}{x^{2}+x+1},$ 则

x+2=A\left(x^{2}+x+1\right)+(B x+D)(2 x+1),

即

x+2=(A+2 B) x^{2}+(A+B+2 D) x+A+D,

比较上式两端同次幂的系数,即有

\left\{\begin{array}{l} A+2 B=0 \\ A+B+2 D=1, \\ A+D=2, \end{array}\right.

从而解得 $\left\{\begin{array}{l}A=2, \\ B=-1, \text { 于是 } \\ D=0 .\end{array}\right.$

$\begin{aligned} & \int \frac{x+2}{(2 x+1)\left(x^{2}+x+1\right)} \mathrm{d} x \\ =& \int\left(\frac{2}{2 x+1}-\frac{x}{x^{2}+x+1}\right) \mathrm{d} x=\ln |2 x+1|-\frac{1}{2} \int \frac{(2 x+1)-1}{x^{2}+x+1} \mathrm{~d} x \\ =& \ln |2 x+1|-\frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{d}\left(x^{2}+x+1\right)}{x^{2}+x+1}+\frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{d} x}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}} \\ =& \ln |2 x+1|-\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+x+1\right)+\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2 x+1}{\sqrt{3}}+C \end{aligned}$

§ 3.6 定积分的概念和性质

引例:曲边梯形的面积

区间[a,b]上有连续可导函数f(x)(f(x)\geq0)\\ 那么f(x),y=0,x=a,x=b所围成的就是一个曲边梯形\\

把它分成很多个小块,当我们分得越来越细的时候,我们每一个小块都可以看成一个长方形,把这些长方形相加得到的数值就可以无限接近曲边梯形的面积

即:

区间[a,b]上任意找n-1个点\\ 把这些点插入[a,b]内,把[a,b]分成了n个小区间\\ 记作[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\cdots\\ 对于第i个小曲边梯形为\Delta S_{i},对应的底边宽度为\Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}\\ 我任取一个点\xi_{i}\in [x_{i},x_{i+1}]以f(\xi)近似为第i个曲边梯形的高\\ 我们就用S_{i}去近似于f(\xi)\Delta x_{i}\\ 我们进行求和,即S=\sum^{n}_{i=0}\Delta S_{i}\approx \sum^{n}_{i=0}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\\ 此时我们让他分的越来越细,就越来越能近似于曲边梯形的面积\\ 记\lambda =max\{\Delta x_{0},\Delta x_{1},\Delta x_{2},\cdots\}\\ S=\lim_{\lambda\to0}\sum^{n}_{i=0}f(\xi_{i})\Delta x_{i}

定义:

f(x)在[a,b]有界,在[a,b]任意插入分点,分成n个小区间\\ 各小区间的长度\Delta x_{1},\Delta x_{2},\cdots,\Delta x_{n}\\ 在每个小区间上任取一点\xi_{i}\\ \sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\\ 令\lambda =max\{\Delta x_{1},\Delta x_{2},\cdots,\Delta x_{n}\}\\ \lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\\ 如果这个极限存在,就称这个极限为f(x)在区间[a,b]的定积分\\ 记作\int ^{b}_{a}f(x)dx\\ a为积分下限,b为积分上限

定积分求出来是一个值,他与积分变量无关,即 $\int ^{b}_{a}f(x)dx=\int ^{b}_{a}f(t)dt$

定义:

连续函数均可积
若一个有界函数内部有有限个间断点,也可积

定积分的几何意义: f(x)在区间[a,b]大于等于0,则f(x)在[a,b]上对x的定积分就是f(x)构成的曲边梯形的面积 f(x)在区间[a,b]小于等于0,则f(x)在[a,b]上对x的定积分就是f(x)构成的曲边梯形的面积的相反数 f(x)在区间[a,b]有正有负,则f(x)在[a,b]上对x的定积分就是f(x)大于0部分的阴影面积减去f(x)小于0部分构成的阴影面积,最后结果符号不确定

定积分的性质

$\int ^{a}_{a}f(x)dx=0$
$\int^{b}_{a}f(x)dx=-\int ^{a}_{b}f(x)dx$
$\mathop{ \int }\nolimits_{a}^{b}{ \left[ f{ \left( {x} \right) } \pm g{ \left( {x} \right) } \right] } \text{d} x=\mathop{ \int }\nolimits_{a}^{b}f{ \left( {x} \right) } \text{d} x \pm \mathop{ \int }\nolimits_{a}^{b}g{ \left( {x} \right) } \text{d} x$
$\mathop{ \int }\nolimits_{a}^{b}kf{ \left( {x} \right) } \text{d} x=k\mathop{ \int }\nolimits_{a}^{b}f{ \left( {x} \right) } \text{d} x$
$\mathop{ \int }\nolimits_{a}^{b}f{ \left( {x} \right) } \text{d} x=\mathop{ \int }\nolimits_{a}^{c}f{ \left( {x} \right) } \text{d} x+\mathop{ \int }\nolimits_{c}^{b}f{ \left( {x} \right) } \text{d} x$
$\mathop{ \int }\nolimits_{a}^{b} \text{d} x=b-a$
$f{ \left( {x} \right) } \ge 0,x \in { \left[ {a,b} \right] } \Rightarrow \mathop{ \int }\nolimits_{a}^{b}f{ \left( {x} \right) } \text{d} x \ge 0$
$f{ \left( {x} \right) } \ge g{ \left( {x} \right) },x \in { \left[ {a,b} \right] } \Rightarrow \mathop{ \int }\nolimits_{a}^{b}f{ \left( {x} \right) } \text{d} x \ge \mathop{ \int }\nolimits_{a}^{b}g{ \left( {x} \right) } \text{d} x$
${ \left| {\mathop{ \int }\nolimits_{a}^{b}f{ \left( {x} \right) } \text{d} x} \right| } \le \mathop{ \int }\nolimits_{a}^{b}{ \left| {f{ \left( {x} \right) } \text{d} x} \right| }$
$\begin{array}{l} M=\mathop{f}\nolimits_{max}{ \left( {x} \right) },m=\mathop{f}\nolimits_{min}{ \left( {x} \right) },x \in { \left[ {a,b} \right] }\\ m{ \left( {b-a} \right) } \le \mathop{ \int }\nolimits_{a}^{b}f{ \left( {x} \right) } \text{d} x \le M{ \left( {b-a} \right) } \end{array}$

\begin{array}{l} {\text{若}\text{函}\text{数}\text{在}\text{闭}\text{区}\text{间}{ \left[ {a,b} \right] }\text{上}\text{连}\text{续}\text{,}\text{则}}\\ { \exists \xi \in { \left[ {a,b} \right] }}\\ {\mathop{ \int }\nolimits_{a}^{b}f{ \left( {x} \right) } \text{d} x=f{ \left( { \xi } \right) }{ \left( {b-a} \right) }}\\ {\text{若}f{ \left( {x} \right) }\text{和}g{ \left( {x} \right) }\text{在}\text{闭}\text{区}\text{间}{ \left[ {a,b} \right] }\text{上}\text{可}\text{积}\text{,}\text{且}g{ \left( {x} \right) }\text{在}\text{此}\text{区}\text{间}\text{上}\text{不}\text{变}\text{号}\text{,}\text{则}}\\ {\mathop{ \int }\nolimits_{a}^{b}f{ \left( {x} \right) }g{ \left( {x} \right) } \text{d} x=f{ \left( { \xi } \right) }\mathop{ \int }\nolimits_{a}^{b}g{ \left( {x} \right) } \text{d} x} \end{array}

§ 3.7 微积分的基本定理

积分上限函数

$\int ^{b}_{a}f(x)dx$ 这个定积分,a和b是一个常数,f(x)是一个确定的函数,后面的积分变量也是固定的x,那么我们算出来是一个确定的值,当 $f(x)dx$ 确定时,我们就知道,不难看出, $\int ^{b}_{a}f(x)dx$ 就只受a和b的影响,现在我们把b换成变量t $g(t)=\int ^{t}_{a}f(x)dx$ 我们就得到了一个函数,这就是一个变限函数我们再把他一般化一点,得到一个积分变限函数 $f(x)=\int ^{v(x)}_{u(x)}g(t)dx$

定理: $f(x)=\int ^{v(x)}_{u(x)}g(t)dx$

积分上限函数一定是连续的
如果g(t)是连续的,那么f(x)一定可导
重点: $f'(x)=v'(x)g(v(x))-u'(x)g(u(x))$ ,可以由牛莱公式简单证明

1.\lim_{x\to 0}\frac{\int ^{x}_{0}arctantdt}{x^{2}}=.\lim_{x\to 0}\frac{arctanx}{2x}=\frac{1}{2}\\ 2.\lim_{x\to 0}\frac{\int_{0}^{x}\int ^{u^{2}}_{0}arctan(1+t)dtdu}{x(1-cosx)}\\ =\lim_{x\to 0}\frac{\int_{0}^{x}\int ^{u^{2}}_{0}arctan(1+t)dtdu}{\frac{1}{2}x^{3}}\\ =\lim_{x\to 0}\frac{\int ^{x^{2}}_{0}arctan(1+t)dt}{\frac{3}{2}x^{2}}\\ =\lim_{x\to 0}\frac{2xarctan(1+x^{2})}{3x}\\ =\frac{2}{3}arctan(1)\\ =\frac{\pi}{6}\\

牛顿莱布尼茨公式

令F'(x)=f(x),即: $\int f(x)dx=F(x)+c$ 我们有: $\int ^{b}_{a}f(x)dx=F(x)\bigg|^{b}_{a}=F(b)-F(a)$

\int ^{\frac{1}{2}}_{0}e^{2x}dx=\frac{1}{2}e^{2x}\bigg| ^{\frac{1}{2}}_{0}=\frac{e-1}{2}\\ \int ^{3}_{-1}|2-x|dx=\int ^{2}_{-1}(2-x)dx+\int ^{3}_{2}(x-2)dx\\

求定积分时,在不可导点处要用定积分的性质拆开来算牛莱公式的使用条件是在区间内连续牛顿莱布尼兹公式把定积分和不定积分联系到一起了

§ 3.8 定积分的计算方法

在前面我们给了牛莱公式已经可以计算定积分了,但并不是所有的函数都是那么容易找出原函数,例如前面不定积分的很多例题就没有那么好找原函数,都是用分部积分或者换元法给做出来的,这里我们也开始介绍定积分的其他计算方法

再不定积分中,我们主要讲了四种方法

不定积分的线性运算法则
不定积分的第一类换元法
不定积分的第二类换元法
不定积分的分部积分

对应的,定积分也有对应的方法,线性运算法则在前面的性质已经说了

定积分的凑微分

这个方式和不定积分是一样的,就是不定积分的凑微分加上牛莱公式

令g(x)=f(\varphi (x))\varphi '(x),F'(x)=f(x)\\ 那么\int^{b}_{a}g(x)dx=\int^{b}_{a}f(\varphi (x))d\varphi (x)=F(\varphi (x))\bigg|^{b}_{a}

eg:

\int ^{e}_{1}\frac{\sqrt{1+\ln{x}}}{x}dx=\int ^{e}_{1}\sqrt{1+\ln{x}}d(\ln{x}+1)\\ =\frac{2}{3}(1+\ln{x})^{\frac{3}{2}}\bigg|^{e}_{1}=\frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)\\

定积分的第二类换元法

设f(x)在[a,b]连续,且\varphi '(t)连续\\ \int^{b}_{a}f(x)dx\\ 令x=\varphi (t),\varphi (\alpha)=a,\varphi (\beta)=b\\ \int ^{\beta}_{\alpha}f(\varphi (t))\varphi' (t)dt\\ 证明:\\ f(x)在[a,b]连续\\ 设F(x)是f(x)在[a,b]的一个原函数\\ \int^{b}_{a}f(x)dx=F(x)\bigg|^{b}_{a}=F(b)-F(a)\\ 由f(\varphi (t))\varphi' (t)在[a,b]连续\\ f(\varphi (t))\varphi' (t)的原函数为F(\varphi (t))\\ \int ^{\beta}_{\alpha}f(\varphi (t))\varphi' (t)dt=F(\varphi (t))\bigg|^{\beta}_{\alpha}=F(\varphi (\beta))-F(\varphi (\alpha))=F(b)-F(a)\\ 故\int^{b}_{a}f(x)dx=\int ^{\beta}_{\alpha}f(\varphi (t))\varphi' (t)dt\\

在不定积分的第二类换元法里,算到最后需要去把t换成x,但定积分里不存在这个问题,因为定积分最后得到的是一个值

\int ^{a}_{0}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx\ \ \ (a>0)\\ 令x=asint,t=arcsin\frac{x}{a}\\ \sqrt{a^{2}-x^{2}}=\sqrt{a^{2}-a^{2}sint^{2}}=acost\\ dx=dasint=acostdt\\ x从0到a,\ t从0到\frac{\pi}{2}\\ 即:\int ^{a}_{0}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=a^{2}\int ^{\frac{\pi}{2}}_{0}cos^{2}tdt=\frac{\pi a^{2}}{4}

定积分的分部积分

若u'(x)和v'(x)连续k,x\in [a,b]\\ (uv)'=u'v+uv'\\ uv'=(uv)'-u'v\\ \int ^{b}_{a}uv'dx=\int ^{b}_{a}(uv)'dx-\int ^{b}_{a}u'vdx\\ \int ^{b}_{a}udv=uv\bigg|^{b}_{a}-\int ^{b}_{a}vdu\\

eg:

\int ^{1}_{0}xe^{x}dx=\int ^{1}_{0}xde^{x}=xe^{x}\bigg|^{1}_{0}-\int ^{1}_{0}e^{x}dx=e-(e-1)=1

§ 3.9 利用被积函数的特点化简定积分的计算

奇偶函数定积分的性质

若f(x)在[-a,a]连续\\ 若f(x)为奇函数,即:f(-x)=-f(x),那么\int^{a}_{-a}f(x)dx=0\\ 若f(x)为偶函数,即:f(-x)=f(x),那么\int^{a}_{-a}f(x)dx=2\int^{a}_{0}f(x)dx\\ 推论:\\ 若f(x)在[-a,a]连续\\ \int^{a}_{-a}f(x)dx=\int^{a}_{0}[f(x)+f(-x)]dx\\

周期函数的定积分性质

f(x)连续,为周期函数,周期为T,a为常数\\ 则:\int ^{a+T}_{a}f(x)dx=\int ^{T}_{0}f(x)dx

这里只介绍这两种,因为这两种最常见

§ 3.10 定积分的应用

求面积

若在[a,b]内f(x)>0,则,y=f(x),y=0,x=a,x=b这四条线围成图像的面积S=\int ^{b}_{a} f(x)dx\\ 若在[a,b]内f(x)<0,则,y=f(x),y=0,x=a,x=b这四条线围成图像的面积S=-\int ^{b}_{a} f(x)dx\\ 一般的:y=f(x),y=0,x=a,x=b这四条线围城图像的面积S=\int ^{b}_{a} |f(x)|dx\\ 如果在[a,b]内f(x)>g(x)>0,则,y=f(x),y=g(x),x=a,x=b围成的面积为\int ^{b}_{a} f(x)-g(x)dx\\ 如果在[a,b]内0<f(x)<g(x),则,y=f(x),y=g(x),x=a,x=b围成的面积为\int ^{b}_{a} g(x)-f(x)dx\\

求体积

对于一个不规则的图像而言,如果我们知道他横截面的面积方程为A(x),那么在[a,b]内的体积为\\ \int ^{b}_{a}A(x)dx\\

f(x)定义域为[a,b]把他绕着x旋转后的体积为:\\ V=\pi\int ^{b}_{a}[f(x)]^{2}dx\\ f(x)的值域为[a,b],f(x)=g(y),把他绕着y旋转后的体积为:\\ V=\pi\int ^{d}_{c}[g(y)]dy\\

§ 3.11 广义积分

简单来说,我们前面接触到的定积分上下限都是一个常量,我们把这个常量换成一个正无穷就得到了广义积分

\int ^{+\infty}_{a}f(x)dx\\ 对于广义积分的求解,我们采用极限的形式\\ \lim_{b\to +\infty}\int ^{b}_{a}f(x)dx\\ 如果极限存在,我们称这个广义积分是收敛的,如果极限不存在就是发散的

1.\int_{0}^{+\infty} e^{-x} d x=-\int_{0}^{+\infty} e^{-x} d -x=-e^{-x}\bigg|^{+\infty}_{0}=0+1=1\\ 2.\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d x}{1+x^{2}} = arctanx\bigg|^{+\infty}_{-\infty}=\pi\\ 3.证明\int_{0}^{+\infty} \cos x d x发散\\ \int_{0}^{+\infty} \cos x d x=sinx\bigg|^{+\infty}_{0}\\ \lim_{x\to +\infty}sinx不存在\\

广义积分的敛散性

\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} d x=\left\{\begin{array}{cc} 收敛 ,且值为\frac{1}{p-1}& p>1 \\ 发散 & p \leq 1 \end{array}\right.

证明:

p\ne 1时\\ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} d x=\int_{1}^{+\infty} x^{-p} d x\\ \frac{1}{1-p}x^{1-p}\bigg|^{+\infty}_{1}=\lim_{x\to +\infty}[\frac{1}{1-p}x^{1-p}]-\frac{1}{1-p}\\ p>1时,1-p<0,\lim_{x\to +\infty}[\frac{1}{1-p}x^{1-p}]=0\\ 即:\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} d x收敛\\ p<1时,1-p>0,\lim_{x\to +\infty}[\frac{1}{1-p}x^{1-p}]=\infty\\ 即:\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} d x发散\\ p=1时,\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} d x=\ln{x}\bigg|_{1}^{+\infty},发散\\

给一些性质:

\int_{a}^{+\infty} f(x) d x收敛,则\int_{a}^{+\infty} kf(x) d x收敛\\ \int_{a}^{+\infty} f(x) d x收敛且\int_{a}^{+\infty} g(x) d x收敛,则\int_{a}^{+\infty}(f(x) \pm g(x)) d x收敛\\ 若f(x)\geq 0,则\int_{a}^{+\infty} f(x) d x\Leftrightarrow P(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t\ \ \ 有界\\ 若0 \leq f(x) \leq g(x)\\ \int_{a}^{+\infty} f(x) d x发散则\int_{a}^{+\infty} g(x) d x发散\\ \int_{a}^{+\infty} g(x) d x收敛则\int_{a}^{+\infty} f(x) d x收敛

若\int_{a}^{+\infty} f(x) d x收敛,\int_{a}^{+\infty}| f(x)| d x收敛,那么\int_{a}^{+\infty} f(x) d x绝对收敛\\ 若\int_{a}^{+\infty} f(x) d x收敛,\int_{a}^{+\infty}| f(x)| d x发散,那么\int_{a}^{+\infty} f(x) d x条件收敛\\ 定理:绝对收敛的广义积分必收敛

最后有一个在概率学中比较重要的广义积分 $\int _{-\infty}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx=\sqrt{\pi}$

第三章：一元函数积分学 ​

§ 3.1 不定积分 ​

不定积分 ​

不定积分的性质 ​

积分公式 ​

§ 3.2 第一类换元法 ​

§ 3.3 第二类换元法 ​

§ 3.4 分部积分法 ​

§ 3.5 有理函数的积分 ​

§ 3.6 定积分的概念和性质 ​

引例:曲边梯形的面积 ​

定义: ​

定积分的性质 ​

§ 3.7 微积分的基本定理 ​

积分上限函数 ​

牛顿莱布尼茨公式 ​

§ 3.8 定积分的计算方法 ​

定积分的凑微分 ​

定积分的第二类换元法 ​

定积分的分部积分 ​

§ 3.9 利用被积函数的特点化简定积分的计算 ​

§ 3.10 定积分的应用 ​

§ 3.11 广义积分 ​