第七章：无穷级数

§ 7.1 无穷级数的定义和性质

无穷级数的概念

级数和高中数列类似

级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。我们研究的是无穷级数,所以是无穷多个数加起来

u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}+\cdots\\ 这就叫一个无穷级数,其中u_{n}就叫他的通项 \\ 我们也可以记作\sum _{n=1}^{\infty}u_{n}\\ 我们把这个级数前n项拿出来,记作:\\ S_{n}=u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}\\ 我们把这个有限项的和记作部分和\\ 我们以S_{n}为通项,排成一个数列,即\\ S_{1}, S_{2} \cdots S_{n} \\ 如果u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}+\cdots 值是存在的\\ 那么就意味着当n\to \infty , S_{n}是有极限的\\ 这个时候,我们求无穷级数的问题就转化成了一个数列极限的问题\\

定义:

u_{n}的部分和为S_{n},如果\lim_{n\to \infty}S_{n}存在\\ 则有\sum _{n=1}^{\infty}u_{n}=\lim_{n\to \infty}S_{n}\\ 并且我们称这种级数为收敛级数,否则,就称为发散级数

这里有一个余项的概念,即: $R_{n}=S-S_{n}$

常见的级数

我们介绍两个比较重要的级数

几何级数

a+ aq +aq^{2}\cdots\\ 这种级数就叫做几何级数\\ 可以记作\sum _{n=0}^{\infty}aq^{n}\\

如果读者还记得高中知识,就会明白,几何级数就是一个无穷项的等比数列求和

我们有等比数列前n项和的求和公式

S_{n}=\frac{a(1-q^{n})}{1-q}=a+a q+\cdots+a q^{n-1}(q\neq 1)(a\neq 0)

其中a为首项,q为公比

根据这个公式,我们讨论以下几种情况

|q|<1 ,\frac{a(1-q^{n})}{1-q}=\frac{a}{1-q},级数收敛\\ |q|>1,显然级数发散\\ q=1的时候,这个级数一定发散\\ q=-1属于交错级数,这个奇数也是发散的\\

当q=-1的时候,不难看出,如果是偶数项,值是0,如果是奇数项,值是a,但是这里讨论的是无穷级数,趋于无穷项显然不收敛

读者可能有这样一个疑惑,如果我们把 $a-a+a-a\cdots$ 写成 $(a-a)+(a-a)+(a-a)+\cdots$ 的话,值似乎就是0,但无穷级数是不能随便加小括号的,加小括号只能应用在有限项中,对有限项成立的性质对无限项并不都成立

在这里我们最重要的结论就是:

|q|<1 ,等比级数收敛于\frac{a}{1-q}\\ |q|\geq 1,等比级数发散\\

p级数

\sum _{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}

以上就是p级数,我们来研究p级数的敛散性

p=1时,p级数为调和级数\\ 即:\sum _{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdots \\

调和级数是发散的,这里给出三种证明方式 证法1:

构造函数y=\ln{x},取区间[n,n+1]\\ 根据拉格朗日中值定理\\ 在区间[n,n+1]上,一定存在一点\xi ,使得\\ f'(\xi) = \frac{\ln{(n+1)}-\ln{n}}{(n+1)-n}=\ln{\frac{n+1}{n}}=\ln{(1+\frac{1}{n})}\\ 而f'(\xi )=\frac{1}{\xi},由于\xi \in (n,n+1),即\xi > n\\ 故f'(\xi)=\ln{(1+\frac{1}{n})}=\frac{1}{\xi}<\frac{1}{n}\\ 接下里我们只需要证明\sum_{n=1}^{\infty}\ln{(1+\frac{1}{n})}发散即可\\ S_{n}=\ln{(1+\frac{1}{n})}\\ =\ln (1+1)+\ln \left(1+\frac{1}{2}\right)+\ln \left(1+\frac{1}{3}\right)+\cdots+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\\ =\ln \frac{2}{1}+\ln \frac{3}{2}+\ln \frac{4}{3}+\cdots + \ln{\frac{n+1}{n}}\\ =\ln [\frac{2}{1} \times \frac{3}{2} \times \frac{4}{3}\times \cdots \times \frac{n+1}{n}]=\ln{(n+1)}\\ 由于\lim_{n\to \infty}\ln{(n+1)}=\infty 所以级数\sum_{n=1}^{\infty}\ln{(1+\frac{1}{n})}一定发散\\ 证毕\\

证法2:

S_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdots +\frac{1}{n}\\ =\int_{1}^{2} 1 d x+\int_{2}^{3} \frac{1}{2} d x+\int_{3}^{4} \frac{1}{3} d x++\int_{n}^{n+1} \frac{1}{n} d x\\ =\geqslant \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x+\int_{2}^{3} \frac{1}{x} d x+\int_{3}^{4} \frac{1}{x} d x++\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} d x\\ =\int _{1}^{n+1}\frac{1}{x}dx = \ln{n+1}\\ \lim_{n \to \infty}\ln{n+1}=\infty \\ 证毕\\

证法3:

首先我们证明一个不等式:x>\ln{(1+x)}\ (x>-1)\\ 即证明x-\ln{(1+x)}>0\\ 令f(x)=x-\ln{(1+x)}\ (x>-1)\\ f'(x)=1-\frac{1}{1+x}\\ 令f'(x)=1-\frac{1}{1+x}=0\\ 即x=0,该函数定义域内没有不可导点\\ f''(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}},当x=0时,f''(x)>0\\ 即当x=0时,f(x)取到极小值,f(0)=0\\ 由于该函数定义域为开区间,没有端点,故改极值点为最小值\\ min\{f(x)\}=0,则f(x)\geq 0\\ 我们证得x>\ln{(1+x)}\ (x>-1)\\ 有\frac{1}{n} > \ln{(1+\frac{1}{n})}\\ 接下来参照证法1,证明\ln{(1+\frac{1}{n})}发散\\ 证毕

通过以上证明,我们得到结论: $p级数\sum _{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}},当p=1时发散$ 或者说 $\sum _{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散

p级数\sum _{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}\\ p>1时,p级数收敛\\ p\leq 1时,p级数发散

当p等于2时, $\sum _{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi ^{2}}{6}$

性质

若级数 $u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}$ 收敛与 $S$ ,那么 $au_{1}+au_{2}+au_{3}+\cdots +au_{n}$ 收敛与 $aS$
$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 收敛,则 $\sum_{n=1}^{\infty} (u_{n} ± v_{n})$ 也收敛,换句话说,收敛级数加减后也收敛,这个结论可以推广到任意有限项,他的逆命题不成立
收敛级数任意加小括号仍收敛,即:收敛级数可以任意改变运算顺序,该性质证明方法用的是数列极限里的"原数列收敛,则任意子数列都收敛",读者可以自行证明一下,他的逆命题也不成立
加小括号发散的数列去掉小括号后一定发散,这是上一个命题的逆否命题
级数中任意改变/去掉/增加有限项,级数的敛散性不变,这个性质需要注意,敛散性不变,但最后的和可能会变
级数收敛的必要条件是通项极限一定趋于0,我们常用逆否命题,即,如果通项极限不趋于0,那么级数一定发散,反之不成立
发散级数加上收敛级数一定发散

§ 7.2 正项级数

概念

正项级数就是每一项都不小于0的级数,即

\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}\ \ \ (u_{n}\geq 0)

在本节所有的结论,都只适用于正项级数

正项级数敛散性的判定

首先我们拿出他的部分和

S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}

由于每一项都是大于0的,所以由部分和组成的数列一定是单调递增的

所以我们有定理:

正项数列\sum_{n=1}^{\infty}收敛\Leftrightarrow \{S_{n}\}为有界数列

上面的定理一般不会涉及到,我们主要用到的有三个判别法,下面分述

比较判别法

\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}和\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}都是正项级数,且满足0\leq u_{n}\leq v_{n}\\ 1. \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}发散,则\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}发散\\ 2. \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}收敛,则\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}收敛

例:

判断\sum _{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}敛散性\\ \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}\geq \frac{1}{n+1}\\ 由于调和级数发散,所以该级数发散\\

在使用这种方法时,我们通常参考的级数有三个

几何级数
p级数
调和级数

常用的不等式:

$2ab\leq a^{2}+b^{2}$
$sinx < x\ (x>0)$
$ln(1+x)<x\ (x>0)$
$|sinx|\leq 1$
$|cosx|\leq 1$
$e^{x}>1+x$

由于上面这个方法非常难用(自我感觉)所以我们其实可以用另一种方法

\sum _{n=1}^{\infty }u_{n},\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}都是正项级数,且\lim_{n\to \infty}\frac{u_{n}}{v_{n}}=A\\ 若A\in (0,\infty ),即A为非0常数,则\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}和\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}敛散性一致\\ 若A=0,说明u_{n}<v_{n},我们知道,若\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}发散,则\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}发散,若\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}收敛,则\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}收敛\\ 若A=\infty 说明u_{n}>v_{n},我们知道,若\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}发散,则\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}发散,若\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}收敛,则\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}收敛\\

例:

\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{1+n^{2}}}的敛散性\\ \lim_{n\to \infty }\frac{\frac{1}{\sqrt{1+n^{2}}}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to \infty }\frac{n}{\sqrt{1+n^{2}}}=\lim_{n\to \infty }\sqrt{\frac{n^{2}}{1+n^{2}}}=1\\ 所以\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{1+n^{2}}}的敛散性和调和级数敛散性一致\\ 即\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{1+n^{2}}}发散

判断\sum _{n=1}^{\infty }\tan {\frac{1}{n^{2}}}敛散性\\ \lim _{n\to \infty}\frac{\tan {\frac{1}{n^{2}}}}{\frac{1}{n^{2}}}=1\\ \sum _{n=1}^{\infty }\tan {\frac{1}{n^{2}}}和\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}敛散性一致\\ 即\sum _{n=1}^{\infty }\tan {\frac{1}{n^{2}}}收敛

达朗贝尔判别法(比值判别法)

正项级数\sum _{n=1}^{\infty }u_{n},若\lim_{n\to \infty }\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=A\\ 若A>1,级数发散\\ 若A<1,级数收敛\\ 若A=1,无法判断

例:

\sum _{n=1}^{\infty } \frac{2^{n}}{n!}\\ \lim _{n\to \infty }\frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^{n}}{n!}}=\lim _{n\to \infty } \frac{2}{n+1}=0<1\\ 级数收敛\\

从增长速度也能看出来,幂运算增长速度<指数运算增长速度<阶层增长速度<幂指运算增长速度

柯西判别法(检根法)

正项级数\sum _{n=1}^{\infty }u_{n},若\lim_{n\to \infty}\sqrt [n]{u_{n}}=\rho \\ \rho < 1收敛,\rho >1发散,\rho =1无法判断\\

例

\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}敛散性\\ \lim_{n\to \infty}\sqrt [n]{\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}}=\lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=e^{-1}<1\\ 故级数收敛

总结

如何判别正项级数敛散性?

如果通项极限不为0,则发散,如果通项极限为0,继续
如果通项有指数和阶层运算,用比值判别法
如果通项有n次方,用柯西判别法
上面的都解决不了?尝试比较判别法

§ 7.3 任意项级数

交错项级数

通项中带有 $(-1)^{n}$ 的级数为交错项级数

把级数写开后,表现为正号负号交错出现

这一类级数使用莱布尼茨判别法来判别敛散性

若级数\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n}u_{n}满足u_{n+1}\leq u_{n}且通项极限为0则级数收敛

\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n}的敛散性\\ 由于\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1},且\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}=0\\ \sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n}收敛\\

例:

\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln (1+n)}{1+n}的敛散性\\ 我们考虑莱布尼兹审敛法\\ 首先,\lim_{n\to \infty} \frac{\ln (1+n)}{1+n}=0\\ 令f(n)=\frac{\ln (1+n)}{1+n}\\ f'(n)=\frac{1-ln(1+n)}{(1+n)^{2}}\\ 当n>2时,f'(n)<0,即f(n)单调递减\\ 即 \frac{\ln (1+n)}{1+n}收敛

任意项级数

任意项级数,顾名思义,就是正负号完全没有规律的级数,判断这种级数的收敛性,我们需要借助于正项级数

\sum _{n=1}^{\infty}u_{n}为任意项级数\\ 我们对每一项取绝对值\\ \sum _{n=1}^{\infty}|u_{n}|,我们称为绝对值级数,显然,这是一个正项级数\\ 由于|u_{n}|\geq u_{n},所以,当\sum _{n=1}^{\infty}|u_{n}|收敛的时候,\sum _{n=1}^{\infty}u_{n}必收敛\\

\sum _{n=1}^{\infty}|u_{n}|收敛,则\sum _{n=1}^{\infty}u_{n}收敛\\ \sum _{n=1}^{\infty}u_{n}发散,则\sum _{n=1}^{\infty}|u_{n}|发散\\ \sum _{n=1}^{\infty}|u_{n}|收敛称为绝对收敛\\ \sum _{n=1}^{\infty}|u_{n}|发散,但\sum _{n=1}^{\infty}u_{n}收敛,称为条件收敛

例:

\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n}显然是条件收敛\\ \sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}}显然是绝对收敛的\\

性质

绝对收敛的级数可以随意交换顺序
两个绝对收敛级数的积也绝对收敛

总结

任意项级数敛散性判别

加绝对值判断是否收敛,如果收敛,则绝对收敛
判断原级数是否收敛,原级数多为交错级数,用莱布尼兹判别法

如果我们要证明发散,我们需要直接证原级数发散,和绝对值级数就没关系了

§ 7.4 幂级数

幂级数的概念

\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}f(x)\\

这就是一个函数项级数,不难看出,这个级数的敛散性和x的取值是有关系的

我们将x换成一个值带入,若级数收敛,那么我们就说这个函数项级数在这一点是收敛的我们把能让级数收敛的所有x的取值放在一起组成一个集合,就是这个级数的收敛域

特殊的:

\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}[x-x_{0}]^{n}叫做(x-x^{0})的幂级数

幂级数的收敛域

阿贝尔定理:幂级数收敛域是关于原点对称的区间

阿贝尔定理的完整表述:

我们讨论一下幂级数收敛域的求法

幂级数\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}x^{n},我们取绝对值:\sum_{n=1}^{\infty} |u_{n}x^{n}|\\ \lim_{n\to \infty}|\frac{u_{n+1}x^{n+1}}{u_{n}x^{n}}|=|x|\lim_{n\to \infty}|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}|\\ 令\lim_{n\to \infty}|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}|=\rho\\ 当|x|\rho>1,级数发散\\ 当|x|\rho<1,级数收敛\\ 当|x|\rho=1,无法判断\\ 故x\in (-\frac{1}{\rho},\frac{1}{\rho})时,级数一定收敛\\ 而-\frac{1}{\rho}和\frac{1}{\rho},这两点的是否收敛是需要将值带入单独判断的\\

定理: 14db214142bf9530

收敛半径和收敛域的区别: 上述定理提到了收敛半径,在前面我们求出了一个 $(-\frac{1}{\rho},\frac{1}{\rho})$ 的区间,这个区间是关于原点对称的,半径为 $\frac{1}{\rho}$ ,这就是收敛半径,而收敛域是一个具体的区间,需要在区间 $(-\frac{1}{\rho},\frac{1}{\rho})$ 的基础上带入端点验证,收敛半径是一个数,而收敛域是一个区间

求收敛域的过程

求出 $\rho$
求出收敛半径 $\frac{1}{\rho}$
判断区间端点,即 $x=\frac{1}{\rho}$ 和 $x=-\frac{1}{\rho}$
求出收敛域

例:

\sum_{x=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n^{2}+1} x^{n}收敛域\\ \rho = \lim_{n\to+ \infty}\frac{ \frac{2^{n+1}}{(n+1)^{2}+1}}{\frac{2^{n}}{n^{2}+1} }=2\\ R=\frac{1}{\rho}=\frac{1}{2}\\ 将x=\frac{1}{2}带入,\sum_{x=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n^{2}+1} (\frac{1}{2})^{n}=\sum_{x=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1} ,该级数收敛\\ 将x=-\frac{1}{2}带入,\sum_{x=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n^{2}+1} (\frac{-1}{2})^{n}=\sum_{x=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}+1} ,该级数收敛\\ 故收敛域为[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]

\sum_{x=1}^{\infty}\frac{(2 x+1)^{n}}{n}收敛域\\ 我们可以先求2x+1的收敛域\\ 收敛半径R=\lim_{n\to \infty}\frac{n+1}{n}=1\\ 将1和-1带入,求出2x+1的收敛域为[-1,1)\\ 将x解出即可,答案为x\in [-1,0)\\

性质

$\sum_{x=1}^{\infty}a_{n}x^{n},\sum_{x=1}^{\infty}b_{n}x^{n},收敛半径分别为R_{1}和R_{2},和函数分别为S_{1}(x),S_{2}(x),\\则\sum_{x=1}^{\infty}(a_{n}+b_{n})x^{n}=S_{1}(x)±S_{2}(x)\\求和后级数收敛半径R<min\{R_{1},R_{2}\}$
$S(x)=\sum_{x=1}^{\infty}a_{n}x^{n},收敛半径为R\\则S(x)在(-R,R)可导,且有逐项求导公式,S'(x)=\sum_{x=1}^{\infty}(a_{n}x^{n})'=\sum_{x=1}^{\infty}a_{n}nx^{n-1}\\求导后的幂级数和原幂级数有相同的收敛半径R$
$S(x)=\sum_{x=1}^{\infty}a_{n}x^{n},收敛半径为R\\ \int_{0}^{x}S(x)dx=\int_{0}^{x}\sum_{x=1}^{\infty}(a_{n}x^{n})dx=\sum_{x=1}^{\infty}\int_{0}^{x}(a_{n}x^{n})dx\\逐项积分后的幂级数和原幂级数有相同的收敛半径$

逐项求导或者逐项积分后得到的积分,需要对端点进行判定是否收敛

利用性质3和性质2,可以对一些幂级数进行求和

§ 7.5 函数展开成幂级数

本节内容在泰勒展开部分已经讲了很多了,但由于的确比较难,这里再说一次

上一节说到了幂级数,细心的读者会发现幂级数展开后就是一个多项式,在泰勒展开的内容里,我们其实就是把一个函数展开成了多项式,所以,我们把一个函数通过泰勒展开写成多项式的形式,其实就是一个幂级数

如果没有看过泰勒展开也没关系上一节我们说过和函数,即:

1+x+x^{2}+\cdots =\frac{1}{1-x}\\

我们从左边到右边,就是求和函数,从右边到左边,就是函数展开成幂级数

当然,为什么我们要把一个很简单的式子写成一个很长很长的多项式呢?原则还是一个,方便计算,这一点在前面其实是讲过的

现在我们知道,函数展开成幂级数,就是以下过程

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^{n}

至于这个 $a_{n}$ 是什么,这里我只给结论了,具体证明过程可以参考第二章的泰勒展开

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}\ \ \ x\in U(x_{0})

这就是泰勒级数,当 $x_{0}=0$ 时,我们有麦克劳林级数

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}\ \ \ x\in U(0)

复合函数也很好展开,把内层函数换成t,对外层函数进行展开,之后再将t换回即可,这种方法也叫间接展开法

例

f(x)=e^{x}展开为麦克劳林级数\\ (e^{x})^{(n)}=e^{x}\\ 故f^{(n)}(0)=1\\ 故根据麦克劳林展开式,f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^{n}\ \ \ x\in (-\infty,+\infty)

f(x)=sinx展开为麦克劳林级数\\ 根据高阶导数公式,(sinx)^{(n)}=sin(x+n\frac{\pi}{2})\\ 故f^{(n)}(0)=sin(n\frac{\pi}{2})\\ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{sin(n\frac{\pi}{2})}{n!}x^{n}\\ 易得,当n为偶数的时候,f^{(n)}(0)=0\\ 所以在幂级数展开时,应该就只有奇次项\\ 即sinx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}\ \ \ x\in (-\infty,+\infty)

f(x)=\frac{1}{1-x}展开成幂级数\\ 这个直接给结论了,这就是等比数列求和公式\\ \frac{1}{1-x}=\sum_{\infty}^{n=0}x^{n}\ \ \ x\in (-1,1)\\ 同理,\frac{1}{1+x}=\sum_{\infty}^{n=0}(-1)^{n}x^{n}\ \ \ x\in (-1,1)\\

\frac{1}{1+x}=\sum_{\infty}^{n=0}(-1)^{n}x^{n}\\ 两边求积分后得到公式:\\ ln(1+x)=\sum_{x=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+1}x^{n+1}\ \ \ x\in (-1,1]

对级数\\ sinx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\ 两边求导得公式\\ \text{cos} x=\mathop{ \sum }\limits_{n=0}^{ \infty }\frac{\mathop{ \left( {-1} \right) }\nolimits^{n}}{ \left( {2n} \right) !}\mathop{x}\nolimits^{2n}\ \ \ x \in (-\infty,+\infty)\\

对函数e^{xlna}进行麦克劳林展开\\ e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^{n}\\ 将x=xlna带入\\ 得到公式:\mathop{a}\nolimits^{x}=\mathop{ \sum }\limits_{n=0}^{ \infty }\frac{\mathop{ \left( { \text{ln} a} \right) }\nolimits^{n}}{n!}\mathop{x}\nolimits^{n}\ \ \ x\in (-\infty ,+\infty)

对函数\frac{1}{1+x^{2}}泰勒展开\\ \frac{1}{1+x}=\sum_{\infty}^{n=0}(-1)^{n}x^{n}\\ 将x=x^{2}带入 得到公式\\ \frac{1}{1+\mathop{x}\nolimits^{2}}=\mathop{ \sum }\limits_{n=0}^{ \infty }\mathop{ \left( {-1} \right) }\nolimits^{n}\mathop{x}\nolimits^{2n}\ \ \ x\in (-1,1)

根据以上推理过程,我们得到了以下麦克劳林级数

\begin{array}{ll} \frac{1}{1-x}=\mathop{ \sum }\limits_{n=0}^{ \infty }\mathop{x}\nolimits^{n} & { \left( {-1 < x < 1} \right) }\\ e^{x}=\mathop{ \sum }\limits_{n=0}^{ \infty }\frac{1}{n!}\mathop{x}\nolimits^{n} & { \left( {- \infty < x < \infty } \right) }\\ \text{sin} x=\mathop{ \sum }\limits_{n=0}^{ \infty }\frac{\mathop{ \left( {-1} \right) }\nolimits^{n}}{ \left( {2n+1} \right) !}\mathop{x}\nolimits^{2n+1} & { \left( {- \infty < x < \infty } \right) }\\ \text{cos} x=\mathop{ \sum }\limits_{n=0}^{ \infty }\frac{\mathop{ \left( {-1} \right) }\nolimits^{n}}{ \left( {2n} \right) !}\mathop{x}\nolimits^{2n} & { \left( {- \infty < x < \infty } \right) }\\ \frac{1}{1+x}=\mathop{ \sum }\limits_{n=0}^{ \infty }\mathop{ \left( {-1} \right) }\nolimits^{n}\mathop{x}\nolimits^{n} & { \left( {-1 < x < 1} \right) }\\ \text{ln} { \left( {1+x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{n=0}^{ \infty }\frac{\mathop{ \left( {-1} \right) }\nolimits^{n}}{n+1}\mathop{x}\nolimits^{n+1} & { \left( {-1 < x \le 1} \right) }\\ \mathop{a}\nolimits^{x}=\mathop{ \sum }\limits_{n=0}^{ \infty }\frac{\mathop{ \left( { \text{ln} a} \right) }\nolimits^{n}}{n!}\mathop{x}\nolimits^{n} & { \left( {- \infty < x < \infty } \right) }\\ \frac{1}{1+\mathop{x}\nolimits^{2}}=\mathop{ \sum }\limits_{n=0}^{ \infty }\mathop{ \left( {-1} \right) }\nolimits^{n}\mathop{x}\nolimits^{2n} & { \left( {-1 < x < 1} \right) } \end{array}

第七章：无穷级数 ​

§ 7.1 无穷级数的定义和性质 ​

无穷级数的概念 ​

常见的级数 ​

几何级数 ​

p级数 ​

性质 ​

§ 7.2 正项级数 ​

概念 ​

正项级数敛散性的判定 ​

比较判别法 ​

达朗贝尔判别法(比值判别法) ​

柯西判别法(检根法) ​

总结 ​

§ 7.3 任意项级数 ​

交错项级数 ​

任意项级数 ​

性质 ​

总结 ​

§ 7.4 幂级数 ​

幂级数的概念 ​

幂级数的收敛域 ​

性质 ​

§ 7.5 函数展开成幂级数 ​

第七章：无穷级数

§ 7.1 无穷级数的定义和性质

无穷级数的概念

常见的级数

几何级数

p级数

性质

§ 7.2 正项级数

概念

正项级数敛散性的判定

比较判别法

达朗贝尔判别法(比值判别法)

柯西判别法(检根法)

总结

§ 7.3 任意项级数

交错项级数

任意项级数

性质

总结

§ 7.4 幂级数

幂级数的概念

幂级数的收敛域

性质

§ 7.5 函数展开成幂级数