第四章：线性方程组

\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0, \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0, \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 \end{cases}

形如这种右端常数项都是0的方程，称为齐次线性方程组

A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

我们把他们的系数拿下来，我们就得到了它的系数矩阵我们把他们的未知数拿出来组成一个向量，我们就得到了他们的未知向量

X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}

关于线性方程组，我们一般有三种写法

\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0, \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0, \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 \end{cases}

以上写法叫做代数形式

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} =O

以上写法叫做矩阵形式

x_1\begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix} +x_2\begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{pmatrix} +\cdots +x_n\begin{pmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix} =O

以上形式叫做向量形式

我们主要关心线性方程组的求解，由于线性方程组未知数个数很多，我们这里都以向量的形式来描述他的解

显然， $0$ 一定是线性方程组的解，如果有一个非零向量也是他的解，我们就称它为非零解

我们主要研究非零解

由于我懒，剩下的又太简单了，所以这里只给出方程组解的求法

其次

例 4.4.2 求齐次线性方程组

\begin{cases} 2x_1 - 4x_2 + 5x_3 + 3x_4 = 0 \\ 3x_1 - 6x_2 + 4x_3 + 2x_4 = 0 \\ 4x_1 - 8x_2 + 17x_3 + 11x_4 = 0 \end{cases}

的通解．

解对系数矩阵 $A$ 施以初等行变换

A = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 5 & 3 \\ 3 & -6 & 4 & 2 \\ 4 & -8 & 17 & 11 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & -4 & 5 & 3 \\ 1 & -2 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 7 & 5 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 0 & 7 & 5 \\ 1 & -2 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 7 & 5 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 7 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & -\frac{2}{7} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{5}{7} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

由此可知， $r(A) = 2 < 4$ ，所以方程组的基础解系中含 $4 - 2 = 2$ 个解向量．由最后一个矩阵得原方程组的同解方程组

\begin{cases} x_1 - 2x_2 - \frac{2}{7}x_4 = 0 \\ x_3 + \frac{5}{7}x_4 = 0 \end{cases}

取 $x_2$ ， $x_4$ 作为自由未知量，得原方程组的一般解为

\begin{cases} x_1 = 2x_2 + \frac{2}{7}x_4 \\ x_3 = -\frac{5}{7}x_4 \end{cases}

其中 $x_2$ ， $x_4$ 为自由未知量。令自由未知量 $x_2$ ， $x_4$ 分别取值

\begin{pmatrix}x_2 \\ x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}.

可得原方程组的一个基础解系

\eta_1 = \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, \quad \eta_2 = \begin{pmatrix}\frac{2}{7} \\ 0 \\ -\frac{5}{7} \\ 1\end{pmatrix}.

因此，原方程组的通解为

c_1\eta_1 + c_2\eta_2 = c_1\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix}\frac{2}{7} \\ 0 \\ -\frac{5}{7} \\ 1\end{pmatrix},

其中 $c_1$ ， $c_2$ 为任意常数。

非齐次线性方程组

设非齐次线性方程组

\begin{cases} x_1 + 5x_2 - x_3 - x_4 = -1 \\ x_1 - 2x_2 + x_3 + 3x_4 = 3 \\ 3x_1 + 8x_2 - x_3 + x_4 = 1 \\ x_1 - 9x_2 + 3x_3 + 7x_4 = 7 \end{cases}

试用一个特解和其导出组的基础解系表示出通解。

解对所给方程组的增广矩阵 $\bar{A}$ 施以初等行变换

\bar{A} = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 & 3 & 3 \\ 3 & 8 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -9 & 3 & 7 & 7 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & -7 & 2 & 4 & 4 \\ 0 & -7 & 2 & 4 & 4 \\ 0 & -14 & 4 & 8 & 8 \end{pmatrix}

\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & -7 & 2 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{3}{7} & \frac{13}{7} & \frac{13}{7} \\ 0 & 1 & -\frac{2}{7} & -\frac{4}{7} & -\frac{4}{7} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

由此可得原方程组一般解为

\begin{cases} x_1 = \frac{13}{7} - \frac{3}{7}x_3 - \frac{13}{7}x_4 \\ x_2 = -\frac{4}{7} + \frac{2}{7}x_3 + \frac{4}{7}x_4 \end{cases}

其中 $x_3$ ， $x_4$ 为自由未知量。

令 $x_3 = x_4 = 0$ ，得原方程组的一个特解

\alpha_0 = \begin{pmatrix} \frac{13}{7} \\ -\frac{4}{7} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

124

又因原方程组的导出组的一般解为

\begin{cases} x_1=-\frac{3}{7}x_3-\frac{13}{7}x_4\\ x_2=\frac{2}{7}x_3+\frac{4}{7}x_4 \end{cases},

其中 $x_3$ ， $x_4$ 为自由未知量。

令自由未知量 $x_3$ ， $x_4$ 分别取值为

\begin{pmatrix}x_3\\x_4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},

可得导出组的一个基础解系为

\eta_1= \begin{pmatrix} -\frac{3}{7}\\ \frac{2}{7}\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}, \quad \eta_2= \begin{pmatrix} -\frac{13}{7}\\ \frac{4}{7}\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}.

于是原方程组通解为

\begin{aligned} \eta&=\alpha_0+c_1\eta_1+c_2\eta_2\\ &= \begin{pmatrix} \frac{13}{7}\\ -\frac{4}{7}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} +c_1 \begin{pmatrix} -\frac{3}{7}\\ \frac{2}{7}\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} +c_2 \begin{pmatrix} -\frac{13}{7}\\ \frac{4}{7}\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}, \end{aligned}

其中 $c_1$ ， $c_2$ 为任意常数。