第三章：n维向量

§ 3.1 n维向量及线性运算

定义：由 $a_1, a_2, a_3 \cdots a_n$ 组成的有序数组，称为n维向量，简称为向量

向量通常由希腊字母 $\alpha \beta \gamma$ 等表示

例：

$\alpha = (a_1, a_2, a_3 \cdots a_n)$ 这种横着写的向量叫做行向量

$\alpha = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}$ 这种竖着写的向量叫做列向量不难看出， $(a_1, a_2, a_3 \cdots a_n)^T = \alpha = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}$

向量实际上也可以看做一个矩阵

如果向量的所有元素都为0，那么这个向量就是一个0向量，对向量的每一个分量都添加一个负号，我们就得到原来向量的负向量

向量相等：当两个向量为同型（维数相同），并且对应元素都相等，那么称它们两个向量相等

向量一般不区分横竖，横着写和竖着写是完全一样的，维度相同则同型

定义：向量 $\alpha = (a_1, a_2, a_3 \cdots a_n)$ 的长度为 $\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}$ ，向量的长度也读作向量的，范数，模，记作 $|\alpha|$

长度为0的向量必然为0向量

长度为1的向量称为单位向量

特别的： $\varepsilon_1 = (1, 0, \cdots, 0), \varepsilon_2 = (0, 1, \cdots, 0), \cdots, \varepsilon_n = (0, 0, \cdots, 1)$ 都是n元标准单位向量

n维向量的线性运算

\alpha=(a_1,a_2,a_3\cdots a_n),\beta=(b_1,b_2,b_3\cdots b_n)

\alpha\pm\beta=(a_1\pm b_1,a_2\pm b_2,a_3\pm b_3\cdots a_n\pm b_n)

k\alpha=(ka_1,ka_2,ka_3\cdots ka_n)

线性组合

存在向量 $\beta$ 和一个向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ ,若存在一组数 $k_1,k_2,\cdots,k_m$ 使得 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=\beta$ 则称 $\beta$ 可由向量 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 线性表示,或者说 $\beta$ 是 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 的线性组合

多个向量放在一起就叫做向量组

eg:

证明 $\alpha_3=(1,2,-1),\alpha_2=(2,-3,1),\alpha_3=(4,1,-1)$ 证 $\alpha_3$ 是 $\alpha_2$ 和 $\alpha_1$ 的线性组合设 $\alpha_3=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2$ $(4,1,-1)=k_1(1,2,-1)+k_2(2,-3,1)$ 即：得到

\begin{cases} 4 = k_1 + 2k_2 \\ 1 = 2k_1 - 3k_2 \\ -1 = -k_1 + k_2 \end{cases}

解得： $\alpha_3=2\alpha_1+\alpha_2$

向量组的等价

若存在两个向量组：

A=\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n

B=\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m

若向量组 $A$ 中的每一个向量都可以由 $B$ 中的向量线性表示,则称向量组 $A$ 可由向量组 $B$ 线性表示如果向量组 $A$ 和 $B$ 可以互相线性表示,则称向量组 $A$ 和 $B$ 等价

向量组等价具有自反性(自己和自己等价),对称性(等价是相互的),传递性(A与B等价,B与C等价,那么A与C的等价)

设 $\alpha_1=(1,2,-1),\alpha_2=(2,-3,1),\alpha_3=(4,1,-1)$ 证明： $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 与 $\{\alpha_1,\alpha_2\}$ 等价我们已经证明了 $\alpha_3$ 是 $\alpha_2$ 和 $\alpha_1$ 的线性组合

§ 3.2 向量组的线性相关性

定义

向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ ,若存在一组不全为0的数 $k_1,k_2,k_3,\cdots,k_n$ 使 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0$ ,称向量组线性相关否则称向量组线性无关

换个角度看,如果一个向量组的所有向量都不能由其他向量线性表示,那么这个向量组就线性无关,否则就线性相关

如果向量组有一个为 $\theta$ 向量,那么这个向量组一定线性相关

eg:

讨论 $\alpha_1=(1,2,-1),\alpha_2=(2,-3,1),\alpha_3=(4,1,-1)$ 的相关性。

k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0

得到一个方程组

\begin{cases} k_1+2k_2+4k_3=0\\ 2k_1-3k_2+k_3=0\\ -k_1+k_2-k_3=0 \end{cases}

实际上我们只需要讨论这个方程组是否有非0解如果有非零解，那么这个向量组线性相关，如果只有0解，说明线性无关对于其次方程组而言，根据克莱姆法则，如果系数行列式不等于0，方程组有唯一零解，如果系数行列式等于0，方程组有非零解系数行列式计算后为0，则方程有非零解，线性相关

设向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关， $\beta_1=\alpha_1+\alpha_2,\beta_2=\alpha_2+\alpha_3,$ $\beta_3=\alpha_3+\alpha_1$ ，讨论向量组 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 的相关性。

k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=0

k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_2+\alpha_3)+k_3(\alpha_3+\alpha_1)=0

(k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=0

由于 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，故得方程组

\begin{cases} k_1+k_3=0,\\ k_1+k_2=0,\\ k_2+k_3=0. \end{cases}

解出 $k_1=k_2=k_3=0$

§ 3.3 相关性的判定定理

定理1： 向量组 $a_1,a_2,\cdots,a_m(m\ge2)$ 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其他 $m-1$ 个向量线性表示

证明：

必要性：设 $a_1,a_2,\cdots,a_m(m\ge2)$ 线性相关则一定存在一组不全为0的 $k_1,k_2,\cdots,k_m$ ，使得 $k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m=0$ 由于系数不全为0，不妨假设 $k_1\ne0$ ，则有 $a_1=(k_2a_2-k_3a_3-\cdots-k_ma_m)\frac{1}{k_1}$

充分性：不妨设 $a_1=k_2a_2+k_3a_3+\cdots+k_ma_m$ $-a_1+k_2a_2+k_3a_3+\cdots+k_ma_m=0$ 显然， $a_1$ 前面的组合系数为 $-1$ ，不等于0，线性相关证毕 $\#$

看一个题：判断题：向量组 $a_1,a_2,\cdots,a_m(m\ge2)$ 线性相关，则 $a_1$ 可由 $a_2,\cdots,a_m$ 线性表示显然是错误的，定理说的是至少有一个，并没有说是哪一个

定理2： 设向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 线性无关，而向量组 $\beta,\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 线性相关，则 $\beta$ 一定可以由 $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 线性表示，且表示式唯一

说大白话就是，如果一个向量组A线性无关，加上一个向量 $\beta$ 后向量组就线性相关了，则 $\beta$ 一定可以由向量组A中的向量线性表示

证明：

因为 $\beta, \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性相关，则一定存在一组不全为 $0$ 的数： $k, k_1, k_2, \cdots, k_m$ 使得 $k\beta + k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m = \mathbf{0}$ 成立假设 $k = 0$ ，则有 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m = \mathbf{0}$ 必有非零解由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关， $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m = \mathbf{0}$ 只有零解推出矛盾，假设不成立， $k \neq 0$ 且 $k_1\beta + k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m = \mathbf{0} \Rightarrow k \neq 0$ 由 $k \neq 0$ ，我们得到 $\beta = -(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m)\frac{1}{k}$ 接下来证明表示形式唯一假设 $\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m$ $\beta = l_1\alpha_1 + l_2\alpha_2 + \cdots + l_m\alpha_m$ 两个式子相减得： $(k_1 - l_1)\alpha_1 + (k_2 - l_2)\alpha_2 + \cdots + (k_m - l_m)\alpha_m = 0$ 由于 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性无关，所以 $(k_1 - l_1)\alpha_1 + (k_2 - l_2)\alpha_2 + \cdots + (k_m - l_m)\alpha_m = 0$ 只有 $0$ 解即 $k_1 = l_1, k_2 = l_2, k_3 = l_3 \cdots$ 证毕 #

定理3：

若一个向量组中部分向量线性相关，则整个向量组线性相关逆否命题：若一个向量组线性无关，则向量组中任何一个非空向量组也线性无关

证明：若向量组 $A = \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性相关，则一定存在一个向量可以被其他向量线性表示不妨设 $\alpha_1$ 可以表示为 $k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 + k_4\alpha_4 + \cdots$ 向量组 $B = \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m, \alpha_{n}(n > m)$ 显然，向量组 $A$ 是向量组 $B$ 的部分组在向量组 $B$ 中也有 $\alpha_1 = k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 + k_4\alpha_4 + \cdots$ 则 $B$ 也为线性相关证毕 #

定理4：

$m$ 个 $n$ 维向量组 $\alpha_i = (a_{i1}, a_{i2}, \cdots, a_{in})(i = 1, 2, \cdots, m)$ 线性相关的充要条件是由 $\alpha_i$ 构成的 $m \times n$ 阶矩阵 $A = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$ 的秩 $r(A) < m$

或者说：向量组排成一个矩阵，如果矩阵的秩小于向量组里向量的个数，那么就是线性相关我们也知道：如果向量组的个数大于向量组的维数，向量组一定线性相关

eg: 讨论 $\alpha_1 = (1, 2, -1), \alpha_2 = (2, -3, 1), \alpha_3 = (4, 1, -1)$ 相关性

排成一个矩阵： $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ 求得 $r(A) = 2 < 3$ 我们得到这个矩阵线性相关

所以我们要证明向量组线性相关有三种方式：

求组合式，证明至少有一个向量可以由其他向量表示
定义证明，组合系数不全为 $0$
将向量排成矩阵后秩小于向量组的个数

推论： $m$ 个 $n$ 维向量线性无关的充要条件是矩阵 $A$ 的秩 $= m$ ，也就是向量的个数推论：任意 $n$ 个 $n$ 维向量线性无关的充要条件是他们构成的行列式的值不等于 $0$ 定理4证明过程稍微有一点难，我懒得证了，读者自己去试着证明吧

定理5：

任意 $m$ 个 $r$ 维向量线性无关，那么对应的 $r + 1$ 维向量也线性无关，换句话说如果行列式线性无关，那么每个向量加上一个元素也线性无关

即：线性无关向量组添加分量也线性无关

§ 3.4 极大无关组与秩的定义

向量组 $A = \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$

如果向量组线性相关，且 $\alpha_n$ 可由前 $n-1$ 个向量线性表示

向量组 $B = \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{n-1}$ 就和向量组 $A$ 等价

这样我们找到了两个等价的向量组，但是向量组 $B$ 比 $A$ 少了一个向量

如果 $B$ 线性相关，我们又可以采用这种方法去掉一个向量

到最后我们就能得到一个线性无关的向量组 $C$ 和向量组 $A$ 等价

那么 $C$ 就叫做向量组 $A$ 的一个极大无关组

那么我们现在的问题就是如何把这个极大无关组找出来

首先我们给严格定义：

设向量组 $T$ 中的部分向量 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 满足

$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性无关
$T$ 中的向量均可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性表示

则称 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 是 $T$ 的一个极大线性无关组，简称极大无关组

很显然，线性无关的极大线性无关组就是他本身

向量组和极大线性无关组等价

同一个向量组的极大无关组不唯一，但他们之间是等价的

极大无关组的性质

定理：

设有两个 $n$ 维向量组

① $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$

② $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$

若向量组 ① 线性无关，且可由向量组 ② 线性表示，则 $r \leq s$

证明：

A = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{r1} & a_{r2} & \cdots & a_{rn} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{s1} & b_{s2} & \cdots & b_{sn} \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_s \\ \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_s \\ o \\ o \\ \vdots \\ o \end{pmatrix}

r(A) \leq r(C) \leq s

推论：

推论 1：若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 可由向量组 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$ 线性表示，且 $r > s$ ，则向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 线性相关。

推论 2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相等

根据推论 2，我们也就知道了

一个向量组的极大无关组可能不唯一，但任何两个极大无关组所含向量的个数一定是相同的，这也是一个重要的定理

那么这里我们又有了一个概念，极大无关组所含向量个数，我们把这个个数取一个名称，叫做向量组的秩，注意区分矩阵的秩

定义：向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记作 $r(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r)$

线性无关的向量组的秩等于向量组的个数
向量组线性无关等价于向量组的秩等于向量的个数

定理：若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 可由 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$ 线性表示，则

r(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m) \leq r(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s)

请读者注意，两个矩阵等价的等价描述为两个矩阵的秩相同但是我们只能说等价向量组的秩相同，不能说秩相同的两个向量组等价

向量组的秩的求法

矩阵的行秩和列秩：行秩就是行向量组的秩. 列秩就是列向量组的秩. 矩阵行秩的列秩是相等的，都等于矩阵的秩

推论：向量组的秩就和向量组所构成的矩阵的秩相等

求向量组的秩： $\alpha_1 = (1, -1, 2, 4), \alpha_2 = (0, 3, 1, 2), \alpha_3 = (3, 0, 7, 14), \alpha_4 = (1, -2, 2, 0)$

我们把他排成一个矩阵：

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ -1 & 3 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 7 & 2 \\ 4 & 2 & 14 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & -4 \\ 0 & 3 & 3 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

秩为3，向量组的秩也为3，并且我是知道谁的极大无关组为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$ ，至于为什么后面会说

极大无关组的求法

列摆行变换法

把向量按列摆成矩阵，然后做初等行变换就可以做出来了，还拿上面那个例子

求向量组的极大无关组： $\alpha_1 = (1, -1, 2, 4), \alpha_2 = (0, 3, 1, 2), \alpha_3 = (3, 0, 7, 14), \alpha_4 = (1, -2, 2, 0)$

我们把他排成一个矩阵：

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ -1 & 3 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 7 & 2 \\ 4 & 2 & 14 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & -4 \\ 0 & 3 & 3 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

这里我们把每一行的首非零元素拿出来，也就是把把每一行的第一个不为0的元素的列标拿出来，组成的便是柱的极大无关组即：第一行第一列，第二行第二列，第三行第四列，这三个元素都是首非零元，把他们的列标拿出来组成的就是极大无关组

$\lambda$ 为特征值，向量组 $\alpha_1=(1,1,1,1,2),\alpha_2=(2,1,3,2,3),$ $\alpha_3=(2,3,2,5,4),\alpha_4=(1,3,-1,1,\lambda)$ 线性相关？并求其一个极大无关组。

我们给他拼成矩阵

A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 5 & \lambda \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & \lambda-2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 2-\lambda \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4-\lambda \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

$\lambda \neq 4$ 时， $r(A)=3<4$ ，向量组线性相关向量组秩为3，极大无关组为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ $\lambda=4$ 时， $r(A)=4=4$ ，向量组线性无关向量组秩为4，极大无关组为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$

第三章：n维向量 ​

§ 3.1 n维向量及线性运算 ​

线性组合 ​

向量组的等价 ​

§ 3.2 向量组的线性相关性 ​

定义 ​

§ 3.3 相关性的判定定理 ​

定理3： ​

定理4： ​

定理5： ​

§ 3.4 极大无关组与秩的定义 ​

向量组的秩的求法 ​

极大无关组的求法 ​

列摆行变换法 ​