第二章：矩阵

§ 2.1 矩阵的概念

先看一个好玩的引例，看图

门	[黄色门]	[蓝色门]	[红色门]	[绿色门]	[橙色门]
人物	小明	小红	小兰	小白	小黄
宠物	蜗牛	小狗	小猫	小白兔	小金鱼
饮料	水	茶	牛奶	果汁	咖啡
食物	[葡萄]	[香蕉]	[苹果]	[蘑菇]	[蛋糕]

如果把这几个属性随机排列，读者一定知道一共有 $5!$ 种可能，但我加一点条件

小明住在红门的房子里。
喝牛奶的住在中间房子里。
小白有只小猫，邻居有只小金鱼。
小黄住在最左边的房子里。
住在绿门房子里的喝咖啡。
吃圆葱的住在吃苹果的右边。
小兰喝茶还有只小狗。
吃蛋糕的喝果汁。
绿门房子在最右边，橙门房子在其左边。
吃苹果的邻居有只小狗。
吃蘑菇的有一只小蜗牛。
小白吃香蕉。
住在黄门房子里的吃苹果。
小黄的邻居家的房门是蓝色的。

请问谁喝水？谁有只小金鱼？请读者思考

这里把答案给读者

房子信息	房子 1	房子 2	房子 3	房子 4	房子 5
门	黄色	淡蓝色	红色	橙色	绿色
人物	小黄	小兰	小明	小红	小白
宠物	小白兔	小狗	蜗牛	小金鱼	小猫
饮料	水	茶	牛奶	果汁	咖啡
食物	苹果	葡萄	蛋糕	冰淇淋	香蕉

我们要描述这样一个信息，一定要用到一张数表，否则就很难描述，当然我们现实生活中还有很多数表，例如股票呀，航班呀，列车信息呀，这些都是图标，如果我们把这些表中的这些事项去掉，只抽象出数字出来，就得到了一个矩阵的数表，这些数表就是矩阵，所以，矩阵本质上一张可以表示数据的数表

m\text{行}n\text{列矩阵：} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \quad \text{也可以记作：} \quad \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

其中 $a_{ij}$ 表示这个元素位于第 $i$ 行第 $j$ 列，元素都是实数的矩阵又称为实矩阵，当然，本课也只讨论实矩阵，矩阵一般用ABC表示

\text{只有一行的矩阵称为行矩阵} \\ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \end{pmatrix} \\ \text{只有一列的矩阵称为列矩阵} \\ \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix}

§ 2.2 几个特殊的矩阵

方阵：行数和列数相同的矩阵，我们称为方阵方阵因为是方的，所以和行列式一样，也有主对角线和斜对角线（在行列式中这条对角线称为副对角线），其中左上到右下就是主对角线，右上到左下就是斜对角线，其中主对角线上的元素行标和列标是相同的，请注意，只有方阵才有对角线这一说法

请读者区分开矩阵和行列式，矩阵是一张数表，行列式是一种运算，矩阵的形状是矩形，行列式的形状一定是正方形

零矩阵：所有的元素都是0的矩阵我们叫做0矩阵

O_{m \times n} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}

对角阵：除了主对角线以外其他元素都是0

\Lambda = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{mm} \end{pmatrix}

请读者注意，对角阵有对角线，所以一定是方阵

单位阵： 主对角线元素为1，其余元素都为0的矩阵

E_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}

单位阵也必须是方阵，可以用 $E$ 表示，也可以用 $I$ 表示

数量阵： 对角线的元素为一个常数，其余元素都为0的矩阵

\begin{pmatrix} k & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & k & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & k \end{pmatrix}

数量阵也是方阵，并且我们也知道其实单位矩阵是一个特殊的数量阵

三角阵： 主对角线上方的元素全为0或者主对角线下方的元素全为0的矩阵我们叫做三角阵

\text{上三角：} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

\text{下三角：} \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

三角阵也一定是方阵

梯形阵： 梯形阵是我们用到最多的一个矩阵，这里需要详细介绍一下定义：设 $A$ 是一个 $m$ 行 $n$ 列的非零矩阵，若非零行（至少有一个不为0的元素）全在零行上面， $A$ 中各非零行中的第一个（最后一个非零元素前（后）面零元素的个数随着行数的增加而增加（减少）），则称为上（下）梯形阵

上梯形阵

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 7 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 5 & 7 & 0 & 12 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

下梯形阵:

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -9 & 6 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 3 & 3 & 0 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

不是梯形阵的：

\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\5&0&6&0&0\\2&3&4&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}\quad\begin{pmatrix}4&4&3&2&1\\1&2&3&0&0\\1&0&0&0&0\end{pmatrix}

§ 2.3 矩阵的运算

介绍几个概念矩阵的相等：如果两个矩阵有相同的行数和列数，并且对应的元素相等，则这两个矩阵相等同型矩阵：如果两个矩阵的行数和列数相等，则为同型矩阵

加减法： 两个矩阵相加，是让这两个矩阵的对应元素相加减，很显然，只有同型矩阵才能进加减运算

矩阵的加减法满足一定的运算规律

交换律： $A+B=B+A$
结合律： $A+(B+C)=(A+B)+C$
$A+O=A=O+A$
$A-A=0$

简单补充一个概念负矩阵：矩阵A的每个元素都乘以-1，得到的新矩阵为矩阵A的负矩阵，记作 $-A$

数乘： 一个矩阵乘以一个常数就叫做数乘，矩阵的乘以一个常数就是用矩阵的每一个元素都乘以这个常数

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}

kA=\begin{pmatrix}ka_{11}&ka_{12}&\cdots&ka_{1n}\\ka_{21}&ka_{22}&\cdots&ka_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ka_{m1}&ka_{m2}&\cdots&ka_{mn}\end{pmatrix}

1A=A

0A=O

请读者区分清楚矩阵和行列式：一个数如果乘以一个行列式，等于这个数乘以这个行列式的某一行或者某一列，但一个数乘以一个矩阵，等于这个数乘以整个矩阵的每一个元素

矩阵的乘法也满足一些运算规律：

$k(A+B)=kA+kB$
$k(lA)=(kl)A \quad (k和l均为常数)$
$(k+l)A=kA+lA \quad (k和l均为常数)$

矩阵乘法

矩阵乘法

看两个方程组：

\begin{cases} y_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 \\ y_2 = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 \end{cases}

\begin{cases} x_1 = b_{11}t_1 + b_{12}t_2 \\ x_2 = b_{21}t_1 + b_{22}t_2 \\ x_3 = b_{31}t_1 + b_{32}t_2 \end{cases}

第一个方程组是 $x$ 和 $y$ 的关系，第二个方程组是 $x$ 和 $t$ 的关系。

那么我们对这两个方程组进行组合，我们就有 $y$ 和 $t$ 的关系：

即：

\begin{cases} y_1 = (a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31})t_1 + (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32})t_2 \\ y_2 = (a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31})t_1 + (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32})t_2 \end{cases}

我们可以认为第三个方程组是由第一个和第二个方程组进行了一个特殊变换得来的

我们这里讨论的主要是方阵的系数，所以我们把第一个方程组的系数全拿出来按原位置排好就是她的系数矩阵

所以我们现在讨论的实际上是一个矩阵的关系

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \text{和} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{pmatrix}

以上两个矩阵通过一种特殊的变换得到了

\begin{pmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} \end{pmatrix}

我们把这种运算，叫做矩阵乘法

即：

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} \end{pmatrix}

那么我们把上面的规律抽象出来，给出矩阵乘法的运算规则

第一个矩阵的第 $n$ 行和第二个矩阵的第 $m$ 列对应相乘再相加，得到新矩阵的第 $n$ 行第 $m$ 列上的元素

例： $A \times B = C$ ，则 $C$ 的第1行第1列上的元素就是 $A$ 的第一行元素和 $B$ 的第一列元素对应相乘再相加， $C$ 的第 $n$ 行第 $m$ 列上的元素就是 $A$ 的第 $n$ 行和 $B$ 的第 $m$ 列上的元素对应相乘再相加

当然，有了上述运算规则，读者也不难发现，并不是所有矩阵都可以相乘，只有第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，才能做乘法运算，并且得到新矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，新矩阵的列数等于第二个矩阵的列数同样，也不难看出，矩阵其实并不满足乘法交换律

$eg$

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

求 $AB$

$A$ 为 $2 \times 2$ 的矩阵， $B$ 为 $2 \times 2$ 的矩阵，显然可以相乘，并且会是一个 $2 \times 2$ 的矩阵

结果为：

\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

我们再算一下 $BA$

结果为：

\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}

从上面的例题我们有两个结论：一般情况下，矩阵不满足交换律，即： $AB \neq BA$ $AB=O$ 不能推出 $A=O$ 或 $B=O$ ，或者说，两个非 $0$ 矩阵相乘结果完全有可能是一个 $0$ 矩阵

再给个例子：

A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -3 & -6 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

AB = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ -9 & -6 \end{pmatrix}, \quad AC = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ -9 & -6 \end{pmatrix}

从上面例子我们也能看出，如果 $AB=AC$ ，不能推出 $B=C$

由于矩阵乘法不满足交换律，所以，我们在代数里的一些要用到交换律的法则也就不成立了，但也不意味着所有运算规律都不满足

矩阵乘法满足下列规则：

[以下内容被截断/模糊，不确定]

(AB)C = A(BC)

A(B + C) = AB + AC

(B + C)A = BA + CA

k(AB) = (kA)B = A(kB)

E_{m}A_{m\times n} = A = A_{m\times n}E_{n}

请读者注意最后一条，可以看出，一个矩阵和单位矩阵相乘是满足交换律的，所以诸如平方差公式，完全平方公式等等，虽然对于两个普通矩阵是不成立，但如果两个矩阵中有一个矩阵是单位矩阵，就是成立的

eg:

A = \begin{pmatrix} \cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{pmatrix}

\begin{aligned} &\stackrel{\text{注}}{=} AA \\ &\begin{pmatrix} \cos^2 \phi - \sin^2 \phi & -2 \sin \phi \cos \phi \\ 2 \sin \phi \cos \phi & \cos^2 \phi - \sin^2 \phi \end{pmatrix} \end{aligned}

方阵的正整数幂

这个知识点很简单

A^k = AA\cdots A

特别的： $A^0 = E$

A^{k+l} = A^k A^l

很显然，标题也说了只有方阵才会有正整数幂

请注意： $(AB)^k \neq A^k B^k$ 只有当 $AB = BA$ 时，才有 $(AB)^k = A^k B^k$

矩阵的转置

矩阵的转置和方阵的转置类似，也就是把第 $i$ 行放在第 $i$ 列，换句话说A的第 $i$ 行等于 $A^T$ 的第 $i$ 列，A的第 $j$ 列等于 $A^T$ 的第 $j$ 行

A_{m\times n} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}_{m\times n}

A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}_{n\times m}

m行n列矩阵转置后为n行m列的矩阵，对角阵的转置还是他自己

矩阵转置的运算法则：

\begin{aligned} &(A^T)^T = A \\ &(A + B)^T = A^T + B^T \\ &(\alpha A)^T = \alpha A^T \\ &(AB)^T = B^T A^T \\ &(ABC)^T = C^T B^T A^T \end{aligned}

下面我们来证明一下 $(AB)^T = B^T A^T$

首先设 $A$ 是一个 $n \times m$ 的矩阵， $B$ 是一个 $m \times s$ 的矩阵 $A^T$ 是 $m \times n$ 的矩阵， $B^T$ 是一个 $s \times m$ 的矩阵 $(AB)^T$ 是一个 $s \times n$ 的矩阵， $B^T A^T$ 也是一个 $s \times n$ 的矩阵，已经证明了他们是同型矩阵接下来我们只要证明 $(AB)^T$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素等于 $B^T A^T$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素 $(AB)^T$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素等于 $AB$ 的第 $j$ 行第 $i$ 列元素等于 $A$ 的第 $j$ 行和 $B$ 的第 $i$ 列对应元素相乘再相加而 $B^T A^T$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素等于 $B^T$ 的第 $i$ 行和 $A^T$ 的第 $j$ 列对应元素相乘再相加 $B^T$ 的第 $i$ 行，也就是 $B$ 的第 $i$ 列， $A^T$ 的第 $j$ 列，也就是 $A$ 的第 $j$ 行，所以 $B^T A^T$ 也是 $B$ 的第 $i$ 列和 $A$ 的第 $j$ 行对应元素相乘再相加证毕 #

再说两个特殊的矩阵，对称阵和反对称阵

如果矩阵 $A$ 满足 $A=A^T$ 则称 $A$ 为对称阵，很显然， $A$ 如果为对称阵，那么一定是方阵，并且 $A$ 的所有元素关于主对角线对称

如果矩阵 $A$ 满足 $-A=A^T$ 则称 $A$ 为反对称阵，很显然， $A$ 如果为反对称阵，那么一定是方阵，并且 $A$ 的主对角线元素一定是 $0$

我们来证明一个矩阵是对称阵

证明 $AA^T$ 是对称阵 $(AA^T)^T = A A^T$ 所以为对称阵

再给一个结论：任何一个方阵都可以写成一个对称阵和反对称阵的和，在工程上很有用即： $A = \frac{A+A^T}{2} + \frac{A-A^T}{2}$ $eg$

设矩阵 $A$ 、 $B$ 为同阶对称阵，证明 $AB$ 是对称阵的充要条件为 $AB = BA$ 充分性：已知 $AB = BA$ ，且 $A$ 、 $B$ 为同阶对称阵，故 $AB$ 为对称阵，即 $(AB)^T = AB$ 已知 $AB = BA$ ，故 $(AB)^T = (BA)^T = A^T B^T = AB$ ，证毕必要性：已知矩阵 $A$ 与 $B$ 为同阶对称阵且 $AB$ 为对称阵即 $(AB)^T = AB$ ，证明 $AB = BA$ $AB = (AB)^T = B^T A^T = BA$ ，证毕

证明 $A^n = \begin{pmatrix} \cos n\phi & -\sin n\phi \\ \sin n\phi & \cos n\phi \end{pmatrix}$ 数学归纳法：假设 $A^{n-1} = \begin{pmatrix} \cos(n-1)\phi & -\sin(n-1)\phi \\ \sin(n-1)\phi & \cos(n-1)\phi \end{pmatrix}$ 证明 $A^n = \begin{pmatrix} \cos n\phi & -\sin n\phi \\ \sin n\phi & \cos n\phi \end{pmatrix}$

A^n = A^{n-1} \cdot A = \begin{pmatrix} \cos(n-1)\phi & -\sin(n-1)\phi \\ \sin(n-1)\phi & \cos(n-1)\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos n\phi & -\sin n\phi \\ \sin n\phi & \cos n\phi \end{pmatrix}

证毕

数学归纳法：第一步：证明 $n=1$ 成立，第二步：归纳假设 $n=m$ 时成立，证明 $n=m+1$ 成立，如果两步都能证明，那么 $n$ 取任何自然数都成立

§ 2.4 方阵的行列式

定义：由方阵 $A$ 构成的行列式称为方阵的行列式，记作 $|A|$ $eg:$

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 8 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 8 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 32.

我们来看一个方阵的行列式

B=\begin{pmatrix}1&3&4\\2&6&8\\1&3&7\end{pmatrix}

读者可以自行计算一下 $|B|$ ,最后结果是 $0$

一个方阵的行列式为 $0$ 时,我们认为这是一个很特殊的行列式,给他取了个名字,叫做奇异方阵同理,当一个方阵行列式不为 $0$ ,称它是非奇异方阵

方阵的行列式满足以下两个性质： $|kA|=k^n|A|$ （ $n$ 为方阵阶数） $|AB|=|A||B|$ （ $AB$ 必须为同阶方阵） $eg$

证明奇数阶反对称方阵的行列式为 $0$ 设 $A$ 为奇数的反对称方阵,即 $A^T=-A$ $|A|=|A^T|=|-A|=(-1)^n|A|=-|A|$ $|A|=-|A|$ ,即 $|A|=0$ 证毕 $\#$

§ 2.5 伴随矩阵

定义：

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}

$A$ 的伴随矩阵为

\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\A_{n1}&A_{n2}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}

（ $A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式）记作 $A$ 的伴随矩阵记作 $A^*$

只有方阵才有伴随矩阵

请读者写出 $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ 的伴随矩阵 $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ 的伴随矩阵为 $\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$

请读者记住上述例题中二阶方阵求伴随矩阵的公式,即,主对角线互换,斜对角线取反

我们给一个很重要的公式 $AA^*=A^*A=|A|E$

证明：

AA^*=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}

写到这里其实已经证明了,如果读者还不清楚,请关注一下§1.5的推论2,即非行展开为 $0$ 结果为：

\begin{pmatrix}|A|&0&\cdots&0\\0&|A|&\cdots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&|A|\end{pmatrix}=|A|E

推论： $|A^*| = |A|^{n-1} \quad (n\text{为方阵阶数})$

由于 $AA^* = |A|E$ 两边取行列式得： $|AA^*| = ||A|E|$ $|A||A^*| = |A|^n$ $|A^*| = |A|^{n-1}$ $\text{证毕 } \#$

§ 2.6 矩阵的初等变换

矩阵的初等变换顾名思义，就是对矩阵的一种变换，有三种

第一种：交换两行或两列，交换第 $i$ 行（列）和第 $j$ 行（列）我们记作： $r_{ij}(c_{ij})$ 或 $r_i \leftrightarrow r_j \ (c_i \leftrightarrow c_j)$

第二种：用非 $\theta$ 常数 $k$ 乘以第 $i$ 行（列），记作 $kr_i(kc_i)$

第三种：把矩阵的第 $j$ 行（列）乘以 $k$ 倍加到第 $i$ 行（列）对应元素上去，记作： $r_i + kr_j \ (c_i + kc_j)$

以上三种对矩阵的变换叫做初等变换，初等变换是线性代数中一个重要的工具

矩阵的初等变换可以简化矩阵，再具体一点，我们是要通过初等变换把矩阵变成梯形阵 $eg$

A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 8 & 2 \\ 2 & 12 & -2 & 12 \\ 1 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_{13}} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 2 & 12 & -2 & 12 \\ 2 & -3 & 8 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow[r_3 - 2r_1]{r_2 - 2r_1} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 6 & -4 & 4 \\ 0 & -9 & 6 & -6 \end{pmatrix}

\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & -2 & 2 \\ 0 & -3 & 2 & -2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

$\text{把 } A \text{ 化为阶梯型矩阵}$

特别注意，初等变化前后的矩阵是不相等的，所以不能用等号链接，一般用 $\rightarrow$ 或 $\cong$ 连接

读者注意上面的注意点，初等变换前后可以用 $\cong$ 连接，这个符号明显是数学上的等价号，所以，我们给一个定义

如果 $A$ 进行有限次的初等变换可以得到矩阵 $B$ ，那么我们就说矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 等价，记作 $A \cong B$

矩阵的等价是相互的，即 $A \cong B$ 则 $B \cong A$ ，矩阵等价也具有传递性，即 $A \cong B$ 且 $B \cong C$ ，则 $A \cong C$

这里给一个非常有名的定理：任何一个矩阵都有一个等价标准型

\text{等价标准型矩阵：} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}

我们来练习一下

A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ -4 & 5 & 9 & -9 \end{pmatrix}

首先我们化成梯形

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}

接下来我们考虑化成等价标准型：

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

细心的读者会发现，等价标准型1的个数等于梯形阵的非零行个数

§ 2.7 矩阵的秩

介绍矩阵的秩之前，我们先引出一个概念：k阶子式在矩阵 $A_{m\times n}$ 中任取 $k$ 行 $k$ 列，位于这些行列相交处的 $k^2$ 个元素，按次序排成的 $k$ 阶行列式，就叫做 $k$ 阶子式

一般的， $m\times n$ 矩阵有 $C_m^k C_n^k$ 个k阶子式

$C_m^k$ 为组合数，排列组合的内容，不展开讲，只提供算法： $C_m^k=\frac{m!}{k!(m-k)!}$

共有4个3阶子式。

A=\begin{pmatrix} 2 & -3 & 8 & 2 \\ 2 & 12 & -2 & 12 \\ 1 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}

\begin{vmatrix} 2 & -3 & 8 \\ 2 & 12 & -2 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 2 & -3 & 2 \\ 2 & 12 & 12 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 2 & 8 & 2 \\ 2 & -2 & 12 \\ 1 & 1 & 4 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} -3 & 8 & 2 \\ 12 & -2 & 12 \\ 3 & 1 & 4 \end{vmatrix}

矩阵的秩：矩阵A 非0子式的最大阶数，记作 $r(A)$

\begin{pmatrix} 2 & -3 & 8 & 2 \\ 2 & 12 & -2 & 12 \\ 1 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}

这个矩阵的三阶子式都是0，而二阶子式，例如左上角四个，结果不为0，所以非0子式的最大阶数为2，即，这个矩阵秩为2

$r(0)=0$ ，只要A不是零矩阵，那么 $r(A)>0$ ，并且 $r(A_{m \times n}) < min\{m, n\}$
对于n阶方阵A而言，如果 $|A| \neq 0$ 则 $r(A)=n$ ，我们称这种，若 $|A|=0$ ，则 $r(A)<n$

这个定义看起来很复杂，也确实不好用，所以我们求矩阵的秩不会用这个方法，这里给两个定理

梯形阵的秩等于非0行的行数
等价矩阵秩相等，或者说，初等变换不改变矩阵的秩

有了这两个定理，我们就可以用初等变换来求秩了

\begin{bmatrix} 2 & -3 & 8 & 2 \\ 2 & 12 & -2 & 12 \\ 1 & 3 & 1 & 4 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 6 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

梯形阵有2个非0行，所以矩阵秩为2

C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 & 3 \\ 4 & t & 3 & 12 \\ 3 & -1 & 1 & 9 \end{bmatrix}

t为何值时， $r(C) < 3$ 先化为梯形阵为

\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & t+3 & 0 \end{bmatrix}

很显然，当第三行全为0的时候， $r(C) = 2 < 3$ ，即 $t = -3$

根据上节给的结论：等价标准型1的个数等于梯形阵的非零行个数，而梯形阵的非零行个数又是矩阵的秩，所以我们有结论：等价标准型1的个数等于矩阵的秩，并且，如果两个矩阵有相同的秩，则这两个矩阵有相同的等价标准型，反之也成立，用数学语言表达就是： $A$ 和 $B$ 等价的充要条件的 $r(A) = r(B)$

满秩矩阵：如果一个方阵A的秩等于他的阶数，则称A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵不难看出，满秩矩阵和非奇异矩阵是一回事，降秩矩阵和奇异矩阵是一回事

如果一个矩阵是满秩矩阵，他的等价标准型就是单位阵E

A为n阶方阵，则： A为满秩矩阵等价于 A为非奇异矩阵等价于 $|A| \neq 0$ 等价于 $r(A)<n$ A为降秩矩阵等价于 A为奇异矩阵等价于 $|A|=0$ 等价于 $r(A)=n$

§ 2.8 初等矩阵

定义：对单位阵进行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵

初等矩阵有三类： $E(i,j)$ 即把第 $i$ 行和第 $j$ 行交换位置 $E(i(k))$ 即把第 $i$ 行乘以一个 $k$ $E(i,j(k))$ 即把第 $j$ 行乘以 $k$ 加到第 $i$ 行

初等矩阵的性质： $E^T(i,j)=E(i,j)$ $E^T(i(k))=E(i(k))$ $E^T(i,j(k))=E(j,i(k))$

初等矩阵转置后为同型矩阵

$|E(i,j)|=-1$ $|E(i(k))|=k$ $|E(i,j(k))|=1$

初等矩阵都是非奇异矩阵

初等矩阵和初等变换的关系

A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\quad E(1,2)=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}

我们把他们乘起来

E(1,2)A=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}

不难看出左乘了一个矩阵后，矩阵 $A$ 其实做了一个相应的初等行变换

AE(1,2)=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{12}&a_{11}&a_{13}\\a_{22}&a_{21}&a_{23}\\a_{32}&a_{31}&a_{33}\end{pmatrix}

也不难看出，右乘一个初等矩阵相当于做了一个相应的初等列变换

换句话说，我们要做初等行变换，先拿一个单位阵，把这个行变换作用在单位阵上，然后左乘到矩阵即可

推论1：满秩矩阵可以写成有限个单位矩阵的乘积
推论2：矩阵 $A$ 与 $B$ 等价的充要条件是存在 $m$ 阶及 $n$ 阶满秩矩阵 $P,Q$ ，使得 $B_{m\times n}=P_{m\times m}A_{m\times n}Q_{n\times n}$ 成立
同时可以得到： $r(A)=r(PA)=r(AP)=r(PAQ)=r(AQ)$
以上两个结论希望读者充分理解

eg：

\text{设 }r(A_{4\times3})=2,B=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&0\\-1&0&3\\0&0&0\end{pmatrix},\text{求 }r(AB)

很显然， $B$ 是一个满秩矩阵， $A$ 右乘一个 $B$ ，相当于做了有限次初等列变换，秩不变，即 $r(AB)=r(A)=2$

§ 2.9 逆矩阵的定义及可逆条件

首先我们来引入逆矩阵的概念和定义

对于一般的代数而言 $\forall a\neq0,\exists a^{-1}$ 使得 $aa^{-1}=a^{-1}a=1$

那我们就来思考一下，如果矩阵 $A$ 不等于 $0$ ，我们是否也能找到一个 $A^{-1}$ 使得 $AA^{-1}=A^{-1}A=E$

我们先看一个例子

A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\quad \text{假如存在 } B=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\ \text{使得 } AB=BA=E

\text{经过计算},\ AB=\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}

\text{很显然, 这个矩阵一定不会是单位阵 } E

由上面的例子我们也能看出，并不是所有的方阵都可以找到这个矩阵

定义：对于 $n$ 阶方阵 $A$ ，若有 $n$ 阶方阵 $B$ 使得 $AB=BA=E$ ，则称 $B$ 为 $A$ 的逆矩阵，并且称 $A$ 为可逆矩阵

$A$ 的逆矩阵记作 $A^{-1}$ ，读作“ $A$ 逆”，不能读作 $A$ 的负一次方

逆矩阵是唯一的

\begin{aligned} &\text{证明：}\\ &\text{设 } B\neq C,\ B,\ C\ \text{都是 } A\ \text{的逆矩阵}\\ &\text{即},\ AB=BA=E,\ AC=CA=E\\ &\text{我们就有：}B=EB=C(AB)=(CA)B=CE=C\\ &\text{由于假设 } B\neq C,\ \text{出现矛盾, 故假设错误}\\ &\text{即一个矩阵的逆矩阵是唯一的} \end{aligned}

并不是每个非零方阵都是可逆的

接下来我们自然会想到两个问题，当一个方阵满足什么条件的时候可逆，当方阵可逆时，逆矩阵怎么求

首先我们上一节说了一个关于伴随矩阵的公式

AA^*=A^*A=|A|E

由于 $|A|$ 是一个常数，所以我们把 $|A|$ 除过去，就得到 $A\frac{A^*}{|A|}=E$ ，不难看出， $A$ 的逆矩阵就是 $\frac{A^*}{|A|}$

显然， $|A|$ 做分母，一定不能为 $0$ ，所以，只要 $|A|$ 不为 $0$

我们就有一个重要的公式： $A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$

根据我们前面学过的结论，我们知道， $|A|$ 不为 $0$ ，说明 $A$ 一定要是非奇异矩阵，非奇异矩阵有一定是满秩的矩阵，满秩矩阵的等价标准型又一定是单位矩阵 $E$ ，满秩方阵又可以写成一系列初等矩阵的乘积，这都是我们前面学过的

所以，前面两个问题我们其实已经解决了，

方阵可逆的条件为 $|A|$ 不等于 $0$

A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}

推论： $|A^{-1}|=|A|^{-1}$

\begin{aligned} &\text{证明：}\\ &AA^{-1}=E\\ &|AA^{-1}|=|E|=1\\ &|A||A^{-1}|=1\\ &|A^{-1}|=\frac{1}{|A|} \end{aligned}

证毕 #

我们又得到新的结论： $A$ 可逆 $\iff$ $A$ 非奇异 $\iff$ $A$ 满秩 $\iff$ $|A|\neq 0$

$eg$

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\ \text{的逆矩阵}

A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}=\frac{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}{ad-bc}

读者不难发现,我们之所以做二阶方阵的逆运算可以这么快,是因为我们可以很快求出二阶方阵的伴随矩阵,但对于高阶方阵而言,我们是很难求出他的伴随矩阵的,所以这个方法求逆矩阵只适用于二阶方阵

我们再来关注一下逆矩阵的一些性质

$A$ 可逆 $\Longrightarrow |A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$
$A$ 可逆 $\Longrightarrow A^{-1}$ 可逆, 且 $(A^{-1})^{-1} = A$
$AB = E$ 或 $BA = E \Longrightarrow B = A^{-1}$
$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ 证明:
$(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AEA^{-1} = E^2 = E$
$(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1} \quad (k \neq 0, A可逆)$

请读者注意,对于 $(A+B)^{-1}$ 而言,我们是没有如何公式的

为了方便高阶矩阵的求逆运算,我们引入一个新的方法,初等变换法

先引入概念

A可逆 \Rightarrow A^{-1}可逆 \Rightarrow A^{-1}满秩 \Rightarrow A^{-1} = P_1P_2 \cdots P_s

P_1P_2 \cdots P_sA = E

P_1P_2 \cdots P_sE = A^{-1}

我们可以看到,左乘一个初等阵相当于做了一个行变换,我们对A做s次行变换最后得到E,我们把这些行变换作用到单位阵E上,我们就可以得到 $A^{-1}$

所以,我们只需要把A和E摆在一起,让A和E做同样的行变换,把A通过行变换化为E,就可以得到 $A^{-1}$

具体怎么摆,其实也不难想: $[A \vdots E]$

我们把矩阵这么摆了以后,我们通过行变换把A化为 $A^{-1}$ ,那么E被动的就化为了 $A^{-1}$

eg:

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -3 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}

求 $A^{-1}$

\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & \vdots & 1 & 0 & 0 \\ -3 & 2 & 1 & \vdots & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & \vdots & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vdots & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 5 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -4 & -2 & -1 \end{pmatrix}

我们就得到了 $A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 5 & 3 & 2 \\ -4 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

很显然,这种做法做高阶矩阵的逆运算会比用伴随矩阵公式简单很多

当然对于一些题目我们也是需要直接用定义求的

eg:

设 $A_{n\times n}$ 满足 $A^2 - A - 2E = O$ ，求证 $A$ 可逆，并求 $A^{-1}$

\begin{aligned} A^2 - A &= 2E \\ A(A - E) &= 2E \\ A \cdot \frac{(A - E)}{2} &= E \end{aligned}

即 $A^{-1} = \frac{(A - E)}{2}$

已知 $n$ 阶方阵满足： $2A(A - E) = A^3$ ，求 $(E - A)^{-1}$

\begin{aligned} A^3 - 2A^2 + 2A &= 0 \\ (A^3 - E) - (2A^2 - 2A) &= -E \\ (A - E)2A - (A - E)(A^2 + A + E) &= E \\ (A - E)(A^2 - A + E) &= E \end{aligned}

即： $(E - A)^{-1} = A^2 - A + E$

设 $A^k = O$ ，证明 $(E - A)^{-1} = E + A + A^2 + \cdots + A^{k-1}$

\begin{aligned} &(E - A)(E + A + A^2 + \cdots + A^{k-1}) \\ &= (E + A + A^2 + \cdots + A^{k-1}) - (A + A^2 + \cdots + A^{k-1} + A^k) \\ &= E - A^k = E \end{aligned}

已知 $AB$ 为 $n$ 阶方阵，且 $E - AB$ 和 $E - BA$ 均可逆，证明 $(E - BA)^{-1} = E + B(E - AB)^{-1}A$

\begin{aligned} &(E - BA)(E + B(E - AB)^{-1}A) \\ &= E - BA + (E - BA)B(E - AB)^{-1}A \\ &= E - BA + (B - BAB)(E - AB)^{-1}A \\ &= E - BA + B(E - AB)(E - AB)^{-1}A \\ &= E - BA + BA = E \end{aligned}

即： $(E - BA)^{-1} = E + B(E - AB)^{-1}A$

§ 2.10 分块矩阵*

定义：将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块称为矩阵的子块（或子阵），以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \mid & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & \mid & a_{23} & a_{24} \\ \hline a_{31} & a_{32} & \mid & a_{33} & a_{34} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} a_{11} & \mid & a_{12} & a_{13} & \mid & a_{14} \\ \hline a_{21} & \mid & a_{22} & a_{23} & \mid & a_{24} \\ \hline a_{31} & \mid & a_{32} & a_{33} & \mid & a_{34} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \end{pmatrix}

分块矩阵的运算

线性运算:加法与数乘

乘法运算符合乘法的要求，即:保证第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，且每次乘了之后里面的元素依然是一个矩阵，也要满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数

转置运算:大块小块一起转:

A^T = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} A_{11}^T & A_{21}^T \\ A_{12}^T & A_{22}^T \\ A_{13}^T & A_{23}^T \end{pmatrix}

特殊的分块矩阵

准对角阵(分块对角阵)

A = \begin{pmatrix} A_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_s \end{pmatrix}

$A_i$ 为方阵(阶数可以不同), $i = 1,2,3,\cdots,s$

准对角阵的运算法则:

A = \begin{pmatrix} A_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_s \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} B_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & B_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & B_s \end{pmatrix}

( $A_i$ 与 $B_i$ 为同阶方阵, $i = 1,2,3,\cdots,s$ )

我们有:

A + B = \begin{pmatrix} A_1 + B_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2 + B_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_s + B_s \end{pmatrix}

kA = \begin{pmatrix} kA_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & kA_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & kA_s \end{pmatrix}

AB = \begin{pmatrix} A_1B_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2B_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_sB_s \end{pmatrix}

|A| = |A_1||A_2||A_3|\cdots|A_s|

A^{-1} = \begin{pmatrix} A_1^{-1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & A_2^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & A_s^{-1} \end{pmatrix}

r(A) = r(A_1) + r(A_2) + \cdots + r(A_s)

分块三角阵

A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ O & A_{22} \end{pmatrix} \quad |A| = |A_{11}||A_{22}| \quad A^{-1} = \begin{pmatrix} A_{11}^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \\ O & A_{22}^{-1} \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} A_{11} & O \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} \quad |A| = |A_{11}||A_{22}| \quad A^{-1} = \begin{pmatrix} A_{11}^{-1} & O \\ -A_{22}^{-1}A_{21}A_{11}^{-1} & A_{22}^{-1} \end{pmatrix}

分块斜对角阵

M = \begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{pmatrix}

§ 2.11 矩阵方程(矩阵的应用)

AX = B, A可逆,求X

A^{-1}AX = X = A^{-1}B

对于上面的例题,我们还可以用初等变换法

A^{-1} = P_1P_2 \cdots P_i

P_1P_2 \cdots P_iA = E

P_1P_2 \cdots P_iB = X

所以,我们有 $[A \vdots B] \to [E \vdots X]$

AXC = B

这个很显然, $X = A^{-1}BC^{-1}$

eg:

设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ ，且 $AX = A + 3X$ ，求 $X$ .

由 $AX = A + 3X$ ，有 $(A - 3E)X = A$ .

解得 $X = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

设 $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ ， $C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ 且 $A(E - C^{-1}B)^T C^T = B$ ，求 $A$

A(E - C^{-1}B)^T C^T = A(C - CC^{-1}B)^T = A(C - B)^T

即 $A(C - B)^T = B$

解得： $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ -3 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

§ 2.22 矩阵习题

设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，且 $A^2 = A, B^2 = B, (A - B)^2 = A + B$ 证明 $AB = BA = 0$

由 $(A - B)^2 = A + B$ 解： $A^2 - AB - BA + B^2 = A + B = A^2 + B^2$ 即： $-AB - BA = 0$ 即： $AB = -BA$ 要证 $AB = BA = 0$ ，只要再证 $AB = BA$ $AB = A^2B = AAB = -ABA = BAA = BA$ 证毕 #

设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，且 $A^2 - AB = E, r(AB - BA + 2A) = ?$

由： $A^2 - AB = E$ ，得： $A(A - B) = E$

即： $A$ 可逆，且 $A^{-1} = A - B$

又有 $A(A - B) = (A - B)A = E$

$A^2 - AB = A^2 - BA = E$

有 $AB = BA$

故 $r(AB - BA + 2A) = r(AB - AB + 2A) = r(2A) = n$

$\alpha = (1, 0, -1)^T, A = \alpha \alpha^T$ ，求 $A^n$

显然： $\alpha^T \alpha = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = 2$

故有： $A^n = (\alpha \alpha^T)^n = \alpha \alpha^T \cdots \alpha \alpha^T \alpha \alpha^T = \alpha (\alpha^T \alpha) (\alpha^T \alpha) \cdots (\alpha^T \alpha) \alpha^T$ $= 2^{n-1} A$

推广：

$\alpha_{n \times 1}, \beta_{n \times 1}, A = \alpha \beta^T$

$A^n = (\alpha^T \beta) A$

第二章：矩阵 ​

§ 2.1 矩阵的概念 ​

§ 2.2 几个特殊的矩阵 ​

上梯形阵 ​

下梯形阵: ​

§ 2.3 矩阵的运算 ​

矩阵乘法 ​

方阵的正整数幂 ​

矩阵的转置 ​

§ 2.4 方阵的行列式 ​

§ 2.5 伴随矩阵 ​

§ 2.6 矩阵的初等变换 ​

§ 2.7 矩阵的秩 ​

§ 2.8 初等矩阵 ​

初等矩阵和初等变换的关系 ​

§ 2.9 逆矩阵的定义及可逆条件 ​

§ 2.10 分块矩阵* ​

特殊的分块矩阵 ​

准对角阵(分块对角阵) ​

准对角阵的运算法则: ​

分块三角阵 ​

分块斜对角阵 ​

§ 2.11 矩阵方程(矩阵的应用) ​

§ 2.22 矩阵习题 ​