第一章：行列式

§ 1.1 行列式的概念

引例1：

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2. \end{cases}

如果 $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \neq 0$ . 这个方程租就一定有解，至于为什么，以后来说根据高斯消元法，得到两个解： $x_1 = \frac{a_{22}b_1 - a_{12}b_2}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}},\quad x_2 = \frac{a_{11}b_2 - a_{21}b_1}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}}$

可以看到上面有很多 $ab-cd$ 的形式，所以，我们引入了一个新运算

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}

我们有了这个概念之后，我们上面的两个解就可以很方便的表示出来

x_1 = \frac{ \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} },\quad x_2 = \frac{ \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} }

我们再来讨论解存在的条件，看到 $x_1$ 和 $x_2$ 的解的分母都是 $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$ ，那么我们只要保证分母不为0就可以把他的解解出来

即：只要 $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \neq 0$ ，方程就有解，这一点我们在以后还会说到

这样就非常好记忆，这种两行两列的运算，我们就把他叫做二阶行列式，所以，我们可以看到，行列式就是一个速记符号

例2：

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2 \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3 \end{cases}

我们用克莱姆法则来解这个问题，具体过程就不说了，最后得到三个解的分母都是

a_{11}a_{22}a_{33} - a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}

我们把这六个式子定义一个新运算

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}

这就是三阶行列式，那我们如何记住这个运算呢，我们分析一下，这是六项代数和，我们看行标都是123，列标正好是123这三个数的全排列，每一项中的元素都取自不同行不同列，这里给个图方便读者记忆

eg:

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 3 \\ -5 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 1 \end{vmatrix} = -80$
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -5 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 1$

§ 1.2 n阶行列式

前面有了二阶和三阶行列式，那么我们如何定义 $n$ 阶行列式呢？

先来看下面的例子

\begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \\ &= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} \\ &= a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) + a_{12}(a_{23}a_{31} - a_{21}a_{33}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) \\ &= a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{vmatrix} \end{aligned}

读者观察规律，和 $a_{11}$ 相乘的行列式是把第一行第一列划掉的行列式，和 $a_{12}$ 相乘的行列式是把第一行第二列划掉的行列式，和 $a_{13}$ 相乘的行列式是把第一行第三列划掉的行列式相信读者已经发现规律了，那么将规律自然的符号，这里将明白点告诉读者就可以观察到了上面的式子 $= a_{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} + a_{12}(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\end{vmatrix} + a_{13}(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}$

读者可以看到实际上符号是由行标 + 列标和的决定的，这里为了表示方便，我们引入一个符号

A_{11} = (-1)^{1+1}\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}, A_{12} = (-1)^{1+2}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}, A_{13} = (-1)^{1+3}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{vmatrix}

我们把 $A_{ij}$ 称为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，例如 $A_{11}$ 就是 $a_{11}$ 的代数余子式，在本题中， $A_{11} = (-1)^{1+1}\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}$

假如要单独求的 $M_{ij} = \begin{vmatrix}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}$ 就是 $a_{11}$ 的余子式

那么三阶行列式就可以写成 $D = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}$ 我们这里取的是第一行，类似的，我们其实可以取任意一行 I，和 $D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + a_{i3}A_{i3}$ ，当 $i \in \{1, 2, 3\}$ 时都成立至于为什么请读者自己思考

eg：

\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -5 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 5 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} ，由上方定理，可以按照第一行展开

写出

\begin{vmatrix} 1 & 4 & -8 \\ 5 & 2 & 9 \\ 3 & 6 & 1 \end{vmatrix} 第二行第三列的余子式和代数余子式

划去第二行和第三列后，剩下的就是 $\begin{vmatrix}1 & 4 \\ 3 & 6\end{vmatrix}$ ，这就是第二行第三列的余子式

代数余子式就是在余子式的基础上乘以一个 $(-1)^{2+3}$ ，第二行第三列就乘以 $(-1)^{2+3} = -1$

所以代数余子式就是 $-\begin{vmatrix}1 & 4 \\ 3 & 6\end{vmatrix}$

那么一般的行列式长这样：

D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}

一般行列式第 $i$ 行第 $j$ 列的余子式为：

M_{ij} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1(j-1)} & a_{1(j+1)} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{(i-1)1} & \cdots & a_{(i-1)(j-1)} & a_{(i-1)(j+1)} & \cdots & a_{(i-1)n} \\ a_{(i+1)1} & \cdots & a_{(i+1)(j-1)} & a_{(i+1)(j+1)} & \cdots & a_{(i+1)n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n(j-1)} & a_{n(j+1)} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}

看起来麻烦,但是说白了,就是没有第 $i$ 行和第 $j$ 列后剩下元素拼起来的行列式一般行列式余子式和代数余子式的关系满足: $A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ 那么这里 $n$ 阶行列式的定义就出来了

D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}

\begin{aligned} D &= a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} \quad (i = 1,2,\cdots n) \\ \text{或: } D &= a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj} \quad (j = 1,2,\cdots, n) \end{aligned}

第一种我们称为按行展开,第二种我们称为按列展开

§ 1.3 特殊行列式的计算

这里给出几个特殊行列式的计算

角行列式

\begin{vmatrix} a_{11} & & & \\ & a_{22} & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn} \end{vmatrix}

（未写出的为0）这种只有主对角线上的元素不为0,其余元素都为0的行列式的值就是 $a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$ ,但就是对角线相乘

三角行列式

\begin{vmatrix} a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & a_{nn} \end{vmatrix}

（未写出的元素为0）形如这种只有主对角线下方或者主对角线上方有元素的行列式我们称为三角行列式三角行列式的值就是主对角线元素乘积,即: $a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$

斜三角行列式

\begin{vmatrix} & & & a_{1n} \\ & & a_{2(n-1)} & a_{2n} \\ & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n(n-1)} & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1(n-1)} & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2(n-1)} & \\ \vdots & \ddots & & \\ a_{n1} & & & \end{vmatrix}

（没写出的元素都是0）形如这种只有副对角线上有元素,其余都是0的行列式我们叫做斜三角行列式这个行列式的值为 $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2(n-1)}\cdots a_{n1}$ 至于为什么是这个数,请读者自行思考给个例子:

\begin{vmatrix} x & y & 0 & & \\ 0 & x & y & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & \ddots & x & y \\ 0 & & \cdots & 0 & x \end{vmatrix} = x \begin{vmatrix} x & y & & \\ & x & y & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & x & y \\ & & & x \end{vmatrix} + (-1)^{n+1}y \begin{vmatrix} y & x & & \\ & y & x & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & y & x \\ & & & y \end{vmatrix} = x^n + (-1)^{n+1}y^n

§ 1.4 行列式的性质

行列式的转置

首先我们看一下一般行列式长啥样：

D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}

我们简单换个变换

D^T = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}

请读者观察我是怎么变换的，这里我把第一行换了第一列，第二行换了第二列，第 $n$ 行换了第 $n$ 列
如果读者无法理解，是不知道怎么变换的，实际上也可以理解为行列式所有元素关于主对角线对称
我们通过这种行变列，列变行的运算后得到的行列式我们称为行列式的转置行列式，记作 $D^T$

这里有一个结论 $D = D^T$ ，也就是说，行列式和它的转置行列式值相等
同时我们也不难发现，行列式中行和列地位是相等的，对行成立的性质对列也成立

性质1： $D = D^T$

性质2：互换两行，行列式变号

证明：

\begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ &\quad - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} \\ &= a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{vmatrix} \\ D_1 &= \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{12}a_{21}a_{33} + a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} \\ &\quad - a_{11}a_{22}a_{33} - a_{13}a_{21}a_{32} - a_{12}a_{23}a_{31} \\ &= -a_{11}\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} + a_{12}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\end{vmatrix} - a_{13}\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{vmatrix} \end{aligned}

性质2推论1：行列式中如果有两行元素完全相同，行列式值为0，这个推论非常显然，不做证明

性质2推论2： $a_{j1}A_{i1} + a_{j2}A_{i2} + \cdots + a_{jn}A_{in} = 0 \quad (i \neq j)$ ，换句话说，行列式中第 $i$ 行元素和第 $j$ 列元素的代数余子式相乘，如果 $i$ 等于 $j$ ，得到的就是行列式的值，如果 $i$ 不等于 $j$ ，得到的结果一定是0，对行成立，对列也成立，这里不多赘述，至于证明，可以反推一下，只有两行元素相同的时候按行展开才会出现这种运算

这里就有了一个等式： $a_{j1}A_{i1} + a_{j2}A_{i2} + \cdots + a_{jn}A_{in} = \begin{cases} D, & (i = j). \\ 0, & (i \neq j). \end{cases}$

同理，对列也成立： $a_{1j}A_{1i} + a_{2j}A_{2i} + \cdots + a_{nj}A_{ni} = \begin{cases} D, & (i = j). \\ 0, & (i \neq j). \end{cases}$

性质3：用常数 $k$ 乘以一个行列式中的任意一列等于用 $k$ 乘以整个行列式

\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ ka_{i1} & \cdots & ka_{in} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}

证明很简单，只需要按行展开即可

性质4：行列式某一行元素加上另一行元素的 $k$ 倍，行列式的值不变

\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{i1} + k a_{j1} & \cdots & a_{in} + k a_{jn} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{j1} & \cdots & a_{jn} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{j1} & \cdots & a_{jn} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}

性质5：若行列式某一行的元素是两数之和，则行列式可拆成两个行列式的和。

\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{i1} + b_1 & \cdots & a_{in} + b_n \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ b_1 & \cdots & b_n \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}

总结一下本节给到的性质

$D = D^T$
互换两行，行列式变号
用常数 $k$ 乘以一个行列式中的任意一列等于用 $k$ 乘以整个行列式
行列式某一行元素加上另一行元素的 $k$ 倍，行列式的值不变
若行列式某一行的元素是两数之和，则行列式可拆成两个行列式的和。

推论：

行列式中如果有两行元素完全相同，行列式值为0，这个推论非常显然，不做证明
$a_{j1}A_{i1} + a_{j2}A_{i2} + \cdots + a_{jn}A_{in} = 0 \quad (i \neq j)$ ，

§ 1.5 行列式的计算

对于多阶行列式而言，我们手算起来其实是很复杂的，那么本节就来说说如何用上一节中的行列式的性质来把一般行列式变得更好做的行列式

我们举个例子

\begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 3 \end{vmatrix}

如何计算这个行列式呢？我们观察一下规律，如果我们把所有的行加到第一行，第一行的元素是不是就一样了？并且由上一节的性质4，行列式的值不变

那么这个行列式等于

\begin{vmatrix} 9 & 9 & 9 & 9 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 3 \end{vmatrix}

由上一节的性质3，我们可以把第一行的9提出来

行列式的值 $= 9 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 3 \end{vmatrix}$

我们再考虑使用上一节学到的性质4把第一行乘以 $-2$ 分别加到第二行第三行和第四行

9 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 9

我们再来看一个题：

n\text{阶行列式}\begin{vmatrix} a & b & \cdots & b \\ b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & \cdots & a \end{vmatrix}\text{的值为？}

我们把所有的行都加到第一行，然后再提到行列式外面，得到的就是 $(a + (n-1)b)\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b & b & \cdots & a \end{vmatrix}$

然后我们用第一行的 $1$ 乘以 $-b$ 加到下面的所有行，下面所有的 $b$ 就都是 $0$ ，主对角线全部都是 $a - b$ ，一共有 $n-1$ 个 $a - b$

所以这个行列式的值为： $(a + (n-1)b)(a - b)^{n-1}$

这种题目很重要，也请读者牢记这种方法

我们给一个四阶行列式

\begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 & 2 \\ -5 & 1 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -5 & 3 & -3 \end{vmatrix}

对于这种题，我们有两种思路

第一种就是使用性质转换成三角行列式

第二种就是按行或列展开，当然我们需要选定0比较多的行，我们也要造一些0出来方便计算

我们最常用的第二种，第一种解法主要用在下章的矩阵化简

所以我们这里使用第二种算法

\text{我们在第二列造一些0最后得到：}\begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 & 2 \\ -8 & 0 & 4 & -6 \\ 2 & 0 & 1 & -1 \\ 16 & 0 & -2 & 7 \end{vmatrix}

然后按第二列展开，这就很简单了，最后结果为 $40$

§ 1.6 克莱姆法则

在本节我们将会涉及到行列式和线性方程组的关系，本节我们涉及到的方程组具有一定局限性，本节涉及到的方程组均是 $n$ 个未知数， $n$ 个方程的方程组，形如：

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases}

我们称为 $n$ 元一次线性方程组，和 § 1.1 中的两个引例一样，我们也可以用行列式来轻松表达这个方程的解

我们先来回顾一下二元一次线性方程组的解：

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2. \end{cases}

如果 $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \neq 0$ ，这个方程组一定有唯一解，至于为什么，以后再说

根据高斯消元法，得到两个解： $x_1 = \frac{\begin{vmatrix}b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}}, \quad x_2 = \frac{\begin{vmatrix}a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}}$

我们看到分母都是 $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}$ ，可以看出，这就是方程系数按位置组成的行列式，我们称为系数行列式，在这里表示为 $D$ ，第一个解的分子是用方程右边的常数项替换掉系数行列式的第一列，我们表示为 $D_1$ ，第二个解的分子是用方程右边的常数项替换掉系数行列式第二列，我们表示为 $D_2$ ，相信读者已经发现规律了

我们这里给一个结论：如果系数行列式 $D \neq 0$ ，这个方程组有唯一解，

x_1 = \frac{D_1}{D}, x_2 = \frac{D_2}{D}, \cdots, x_n = \frac{D_n}{D} \quad (D_n\text{为方程组的常数项替换系数行列式的第}n\text{项})

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = 0 \end{cases}

这种行都是0的方程组我们叫做其次方程组如果系数行列式不为0，也只有唯一解，显然这个解是0 当系数行列式不为0的时候，方程组有非0解

总结一下本节的定理：定理1：如果系数行列式 $D \neq 0$ ，这个方程组有唯一解 $x_1 = \frac{D_1}{D}, x_2 = \frac{D_2}{D}, \cdots, x_n = \frac{D_n}{D} \quad (D_n为方程组的常数项替换系数行列式的第n项)$ 定理2：其次方程组有非0解的充要条件是系数行列式=0

§ 1.7 范德蒙行列式*

范德蒙行列式是一个特殊的行列式

D_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & a_3^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix}

这种行列式我们就叫做范德蒙行列式，范德蒙行列式的下一行的元素在上一行的基础上指数+1 换句话说，n阶范德蒙行列式由n个元素组成，每一个元素占1列，每一列元素按升幂排列（幂指数为等差数列）那么n阶范德蒙行列式的结果是

D_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 & \cdots & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & a_3^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leqslant j < i \leqslant n} (a_i - a_j)

实际上就是：

\begin{align*} &= (a_2 - a_1)(a_3 - a_1)\cdots(a_n - a_1) \\ &\quad (a_3 - a_2)\cdots(a_n - a_2) \\ &\quad \cdots (a_n - a_{n-1}) \end{align*}

看起来很复杂，但很好记忆，他一共有 $\frac{n(n-1)}{2}$ 项连乘怎么来记呢，我们只关注第二行，选定第二行第一列的元素，用这个元素后面的所有的项都去减第二行第一列，再选定第二行第二列，让这个元素后面所有的项都去减这个元素，这样依次类推，选定第二行第n列，用这一个元素后面所有的元素去减这个元素，最后把这些元素乘起来就行了，我们看个例题

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 9 & 16 \\ 8 & 1 & 27 & 64 \end{vmatrix}

做题的时候不会告诉你是范德蒙行列式，但是希望你能够通过定义和性质看得出范德蒙行列式这个题的结果为：选定第二行第一列，用后面的元素减：[不确定] 选定第二行第二列，用后面的元素减： $[不确定]$ 选定第二行第三列，用后面的元素减： $[不确定]$ 然后把这些元素全部乘起来，得： $(1-2)(3-2)(4-2)(3-1)(4-1)(4-3) = -12$

§ 1.8 逆序数与行列式*

我们在这里节中会用另一个方式来定义行列式

首先介绍 全排列

$n$ 个不同的元素排成一列，称为 $n$ 个元素的全排列。如： $12345678$ ， $76532184$ ，等等均为 $8$ 个元素的全排列

$n$ 个元素的全排列一共有 $n!$ 个

然后介绍一下 逆序数

在 $n$ 级排列中，有一个排列最为特殊， $12345\cdots n$ ，这样依次递增的排列称为标准排列，这个顺序就是标准顺序，如果有任意两个元素没有按照标准顺序排列，即，小的数在大的数后面，就称这是一个逆序

比如说 $213$ 这是三个元素的全排列， $2$ 后面有 $1$ 个比他小的， $1$ 后面没有比他小的，所以他的逆序数就是 $1$ ，读者也看到了，逆序数就是逆序数量的总和

逆序数为偶数的我们叫做偶排列，逆序数为奇数我们叫做奇排列，在 $n$ 个元素的全排列中，奇排列和偶排列数量相同，并且调换排列中的两个元素，奇偶性会发生改变，我们把这种交换两个元素的行为叫做对换

再来看一下三阶行列式

a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

可以看到这六项的行标都是标准排列，列标就是 $123$ 这三个元素所有全排列，至于正负号就是由排列的奇偶性决定的，偶排列前面就是正号，奇排列就是负号

那么这里有了行列式的新定义：

n\text{ 阶行列式} = \sum_{j_1 j_2 \cdots j_n} (-1)^{N(j_1 \cdot j_2 \cdots j_n)} a_{1j_1} a_{2j_2} \cdots a_{nj_n}

其中 $N(j_1 j_2 \cdots j_n)$ 为 $j_1 j_2 \cdots j_n$ 的逆序数

§ 1.9 行列式展开定理*

行列式按行列展开也叫拉普拉斯展开，我们最初为了方便理解是用他来定义行列式的，但上一节中的定义才是行列式真正意义上的定义，拉普拉斯展开其实是一个定理

证明：

设 $B$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵， $i,j \in \{1,2,\dots,n\}$ 。为了明确起见，将 $M_{ij}$ 的系数记为 $(a_{st})$ ，其中 $1 \le s,t \le n-1$ [3]

考虑 $B$ 的行列式 $|B|$ 中的每个含有 $b_{ij}$ 的项，审的形式为：

\operatorname{sgn} \tau b_{1,\tau(1)} \cdots b_{i,j} \cdots b_{n,\tau(n)} = \operatorname{sgn} \tau b_{ij} a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n-1,\sigma(n-1)}

到：

定义 $\sigma' \in S_n$ 使得对于 $1 \le k \le n-1$ ， $\sigma'(k) = \sigma(k)$ 并且 $\sigma'(n) = n$ ，于是 $\operatorname{sgn}\sigma' = \operatorname{sgn}\sigma_0$ 然后

\tau = (n, n-1, \dots, i)\sigma'(j, j+1, \dots, n)

由于两个轮换分别可以被写成 $n-i$ 和 $n-j$ 个对换，因此

\operatorname{sgn} \tau = (-1)^{2n-(i+j)} \operatorname{sgn} \sigma' = (-1)^{i+j} \operatorname{sgn} \sigma

因此映射 $\sigma \leftrightarrow T$ 是双射。由此：

\sum_{\tau \in S_n, \tau(i)=j} \operatorname{sgn} \tau b_{1,\tau(1)} \cdots b_{n,\tau(n)} = \sum_{\sigma \in S_{n-1}} (-1)^{i+j} \operatorname{sgn} \sigma b_{ij} a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{n-1,\sigma(n-1)} = b_{ij} (-1)^{i+j} |M_{ij}|

第一章：行列式 ​

§ 1.1 行列式的概念 ​

§ 1.2 n阶行列式 ​

§ 1.3 特殊行列式的计算 ​

§ 1.4 行列式的性质 ​

行列式的转置 ​

§ 1.5 行列式的计算 ​

§ 1.6 克莱姆法则 ​

§ 1.7 范德蒙行列式* ​

§ 1.8 逆序数与行列式* ​

§ 1.9 行列式展开定理* ​